Normált tér

A normált tér matematikai objektum, az analízis és azon belül a funkcionálanalízis vizsgálja. Fontos speciális esete a közönséges 3-dimenziós tér. Valójában a normált tér éppen ennek egy természetes általánosítása.

Definíció

A $(V,||\cdot ||)$ kettőst normált térnek nevezzük, ha $V$ vektortér a $\mathbb {K}$ számtest felett, ahol $\mathbb {K}$ a komplex vagy valós számok teste, a $||\cdot ||:V\to \mathbb {R}$ függvény pedig egy úgynevezett norma, amelyik teljesíti az alábbi tulajdonságokat:

1. $\forall x\in V\ ||x||\geq 0$
2. $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
3. $\forall \alpha \in \mathbb {K} \ \forall x\in V\ ||\alpha \cdot x||=|\alpha |\cdot ||x||$
4. $||x+y||\leq ||x||+||y||$

Példák

Legegyszerűbb példák a véges dimenziós komplex és valós vektorterek, rajtuk az úgynevezett euklideszi normával. Ha $x\in \mathbb {K} ^{n}$, akkor ennek euklideszi normája:

$||x||_{E}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}$

Más normák is értelmezhetőek ezen a vektortéren:

$||x||_{\max }=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\}$

$||x||_{p}={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p}}}$

Ha adott két normált tér, akkor egy köztük menő lineáris operátor normáját is lehet értelmezni. Legyen ugyanis $(X,||\cdot ||_{X}),\ (Y,||\cdot ||_{Y})$ két normált tér, $A:X\to Y$ egy lineáris operátor. Ennek (operátor)normája:

$||A||=\sup\{||Ax||_{Y}:||x||_{X}\leq 1\}$, feltéve hogy ez a szuprémum véges.

Az olyan lineáris operátorokat, amelyekre ez véges, korlátos lineáris operátoroknak nevezzük. Jegyezzük meg, hogy ezek az operátorok pontosan a folytonos lineáris operátorok.

Függvénytereken is lehet normát értelmezni. Legyen $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ mértéktér, és vegyük a következő függvényteret:

$L^{p}(X)=\{f:X\to \mathbb {K} :\int _{X}|f|^{p}d\mu <\infty \}$

Vezessünk be ezen egy ekvivalencia-relációt:

$f\sim g\Leftrightarrow \mu \left(\{x:f(x)\not =g(x)\}\right)=0$

Az ekvivalenciaosztályokat egy reprezentánsukkal szokás jelölni, míg a relációval faktorizált $L^{p}$-t szintén $L^{p}$-vel.

Legyen most $f\in L^{p}$, és ekkor

$||f||_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}$.

Ennek valójában speciális esete a következő:

$V=C^{1}([a,b])$, tehát a folytonos függvények, és $||f||_{\infty }=\sup\{f(x):x\in [a,b]\}$.