„Normált tér” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
5. sor: | 5. sor: | ||
#<math>\forall x\in V\ ||x||\geq 0 </math> |
#<math>\forall x\in V\ ||x||\geq 0 </math> |
||
#<math>||x||=0\ |
#<math>||x||=0\Leftrightarrow x=0</math> |
||
#<math>\forall\alpha\in\mathbb{{K}}\ \forall x\in V\ ||\alpha\cdot x||=|\alpha|\cdot||x||</math> |
#<math>\forall\alpha\in\mathbb{{K}}\ \forall x\in V\ ||\alpha\cdot x||=|\alpha|\cdot||x||</math> |
||
#<math>||x+y||\leq||x||+||y||</math> |
#<math>||x+y||\leq||x||+||y||</math> |
A lap 2008. december 10., 15:53-kori változata
A normált tér matematikai objektum, az analízis és azon belül a funkcionálanalízis vizsgálja. Fontos speciális esete a közönséges 3-dimenziós tér. Valójában a normált tér éppen ennek egy természetes általánosítása.
Definíció
A kettőst normált térnek nevezzük, ha vektortér a számtest felett, ahol a komplex vagy valós számok teste, a függvény pedig egy úgynevezett norma, amelyik teljesíti az alábbi tulajdonságokat:
Példák
Legegyszerűbb példák a véges dimenziós komplex és valós vektorterek, rajtuk az úgynevezett euklideszi normával. Ha , akkor ennek euklideszi normája:
Más normák is értelmezhetőek ezen a vektortéren:
Ha adott két normált tér, akkor egy köztük menő lineáris operátor normáját is lehet értelmezni. Legyen ugyanis két normált tér, egy lineáris operátor. Ennek (operátor)normája:
, feltéve hogy ez a szuprémum véges.
Az olyan lineáris operátorokat, amelyekre ez véges, korlátos lineáris operátoroknak nevezzük. Jegyezzük meg, hogy ezek az operátorok pontosan a folytonos lineáris operátorok.
Függvénytereken is lehet normát értelmezni. Legyen mértéktér, és vegyük a következő függvényteret:
Vezessünk be ezen egy ekvivalencia-relációt: