Normált tér

A normált tér matematikai objektum, az analízis és azon belül a funkcionálanalízis vizsgálja. Fontos speciális esete a közönséges 3-dimenziós tér. Valójában a normált tér éppen ennek egy természetes általánosítása.

Definíció

Legyen adva egy $V$ vektortér, a $\mathbb {K}$ számtest felett, ahol $\mathbb {K}$ a komplex vagy valós számok teste. Ekkor egy $||\cdot ||:V\to \mathbb {R}$ függvényt normának nevezünk, ha teljesülnek az alábbi tulajdonságok:

1. $\forall x\in V\ ||x||\geq 0$
2. $||x||=0\leftrightarrow x=0$
3. $\forall \alpha \in \mathbb {K} \ \forall x\in V\ ||\alpha \cdot x||=|\alpha |\cdot ||x||$
4. $||x+y||\leq ||x||+||y||$

Ilyenkor a $(V,||\cdot ||)$ kettőst nevezzük normált térnek.