Holomorf függvények

A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. A nyílt halmazon értelmezett, komplex értelemben differenciálható komplex függvényeket nevezzük holomorfnak.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Definíció

1. Definíció:Legyen adva az $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ nyílt halmaz, és az $f:\Omega \to \mathbb {C}$ leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden $z_{0}\in \Omega$ pontban létezik a következő határérték:$\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$.

Ezt a határértéket az $f$ $z_{0}$-beli (komplex)deriváltjának nevezzük, és $f'(z_{0})$-lal jelöljük.

2.Definíció:$f$ holomorf, ha előáll $z_{0}$ $r$-sugarú (alkalmasan válaszott $r$-rel) környezetében a következő alakban:

$f(z)=f(z_{0})+A(z-z_{0})+\varepsilon _{z_{0},r}(z)$

ahol $A$ komplex szám (természetesen függ $z_{0}$-tól), $\varepsilon _{z_{0},r}$ pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz ${\frac {\varepsilon _{z_{0},r}(z)}{z-z_{0}}}\to 0$, ha $z\to z_{0}$. Ekkor $A=f'(z_{0})$.

3. Definíció: $f$ holomorf egy tartományban, ha minden a tartomány belsejében fekvő zárt görbén vett komplex vonalintegrálja eltűnik, azaz igaz a következő összefüggés:

$\oint f(z)dz=0$

Ez egyébként ekvivalens azzal, hogy megegyező végpontú görbék mentén a komplex vonalintegrál megegyezik, azaz, ha $\gamma _{1},\gamma _{2}$ két görbe, és $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0),\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)$, akkor

$\int _{\gamma _{1}}f(z)dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)dz$

Példák

Holomorf a $z\to z$ függvény.

A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy holomorf függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon.

Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az

$\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valósban megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt $2\pi$-vel periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha $z_{1}-z_{2}=2n\pi$, akkor $\exp(z_{1})=\exp(z_{2})$. Ebből következik, hogy inverzét, tehát a logaritmus-függvényt nem tudjuk az egész komplex síkon holomorf módon értelmezni. Ezért minden komplex logaritmusnál meg kell állapodni az értelmezési tartományban! Egy lehetséges konstrukció a következő:

Legyen $\Omega =\mathbb {C} \setminus \{a+bi:b\leq 0\},\log z=\log |z|+i\arg z\ (-\pi <\arg z<\pi )$

A koszinusz- és szinusz-függvény holomorf a komplex síkon, komplex esetben a következőképp definiáljuk őket:

$\cos z={\frac {\exp(ix)+\exp(-ix)}{2}}$

$\sin z={\frac {\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i}}$

Ellenpéldák

• Nem holomorf a konjugált operátor: $z\mapsto {\overline {z}}$
• Nem holomorf a valósrész-képzés operátor: $a+bi=z\mapsto Re(z)=a$

Tulajdonságok

A holomorf függvények folytonosak, létezik primitív függvényük és végtelen sokszor folytonosan differenciálhatóak. Holomorf függvények kompozíciója, lineáris kombinációja, szorzata holomorf, igazak a követekező deriválási szabályok:

$(f(z)\pm g(z))'=f'(z)\pm g'(z)$

$(f(z)g(z))'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$

$(f\circ g)'(z)=f'(g(z))g'(z)$

$(cf(z))'=cf'(z)$