Holomorf függvények

A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. A nyílt halmazon értelmezett, komplex értelemben differenciálható komplex függvényeket nevezzük holomorfnak.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Definíció

Legyen adva az $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ nyílt halmaz, és az $f:\Omega \to \mathbb {C}$ leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden $z_{0}\in \Omega$ pontban létezik a következő határérték:$\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$.

Ezt a határértéket az $f$ $z_{0}$-beli (komplex)deriváltjának nevezzük, és $f'(z_{0})$-lal jelöljük.

Ezzel ekvivalens az, ha az $f$ függvény előáll $z_{0}$ $r$-sugarú környezetében a következő alakban:

$f(z)=f(z_{0})+A(z-z_{0})+\varepsilon _{z_{0},r}(z)$

ahol $A$ komplex szám (természetesen függ $z_{0}$-tól), $\varepsilon _{z_{0},r}$ pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz ${\frac {\varepsilon _{z_{0},r}(z)}{z-z_{0}}}\to 0$, ha $z\to z_{0}$.

Példák

Holomorf a $z\to z$ függvény.

A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy holomorf függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon.

Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az

$\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valósban megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt $2\pi$-vel periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha $z_{1}-z_{2}=2n\pi$, akkor $\exp(z_{1})=\exp(z_{2})$

Ellenpéldák

• Nem holomorf a konjugát operátor: $z\mapsto {\overline {z}}$
• Nem holomorf a valósrész képzés operátor: $a+bi=z\mapsto Re(z)=a$

Tulajdonságok

• Bizonyítható, hogy a holomorf függvények végtelenszer differenciálhatóak, azaz analitikus függvények.
• Holomorf függvények kompozíciója holomorf.
• Holomorf függvények lineáris kombinációja holomorf.
• Holomorf függvények szorzata holomorf.
• Holomorf függvények hányadosa is holomorf, amennyiben a nevező nem nulla.