Kihajlás

Kihajlás az a mechanikai jelenség, amely keresztmetszetéhez képest hosszú (karcsú) egyenes rudak tengelyükbe eső megfelelően nagy nyomóerő hatására bekövetkezik. Ha a nyomoerő kicsi, a rúd kissé összenyomódik, de egyenes marad. Ha a nyomóerőt növeljük, akkor egy bizonyos kritkus értéknél, a rúd elgörbül, kihajlik és eltörik. Azt az erőt, amelynél a rúd eltörik, kritikus törőerőnek nevezik. A kis nyomóerő esetén a nyomott rúd stabil egyensúlyi helyzetben van, mivel ha a rúdra merőleges kis erővel terheljük, a rúd meggörbül, de a merőleges erő megszüntetésével visszatér eredeti egyenes helyzetébe. A törőerő elérésekor a kis oldalirányú erő okozta alakváltozás az erő megszüntetése után is megmarad. Ekkor a rúd közömbös (indifferens) egyensúlyi helyzetben van. Ha a rúd terhelése a kritikus törőerőnél nagyobb, a kitérés addig fokozódik, amíg a rúd eltörik, vagyis a rúd állapota instabil.

Euler képlete

Kihajló rúd

Leonhard Euler 1757-ben a meghatározta a kritikus törőerő nagyságát arra az esetre, ha a törőerő által okozott nyomófeszültség kisebb, mint a rúd anyagának folyáshatára, más szóval, ha rugalmas kihajlás esete forog fenn. Ebben az esetben felírható a rugalmas szál differenciálegyenlete:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {M}{I_{2}E}}$,

ahol az x tengelyt a rúd tengelyében vesszük fel, origójával a rúd egyik csuklós végpontjában (ahol a csukló miatt nyomaték nem ébredhet), az y tengely erre merőleges, M a rúd egy tetszőleges pontját terhelő hajlító nyomaték, I₂ a rúd keresztmetszetének legkisebb másodrendű nyomatéka, E pedig a rúd anyagának rugalmassági modulusa. Az M hajlítónyomaték az F_t törőerő és az y kitérés szorzata:

$M=F_{t}y\,$.

Végül, ha bevezetjük az

$\alpha ^{2}={\frac {F_{t}}{I_{2}E}}$

jelölést, a differenciálegyenlet ilyen alakú lesz:

$y^{\prime \prime }+\alpha ^{2}y=0$.

Ennek az egyenletnek az általános megoldása:

$y=A\sin(\alpha x)+B\cos(\alpha x){\frac {}{}}$,

ahol A és B a peremfeltételektől függ. Mivel az l hosszúságú rúd mindkét végén csuklós megfogású,

$y(0)=0{\frac {}{}}$ és $y(l)=0{\frac {}{}}$, így

$B=0{\frac {}{}}$ és

$A\sin(\alpha l)=0{\frac {}{}}$.

Ez utóbbi nem triviális megoldásaiból gyakorlatilag az az érdekes eset, ha $\alpha l=\pi {\frac {}{}}$. Visszahelyettesítve az értékeket a kritikus törőerő értékét kapjuk:

$F_{t}=\left({\frac {\pi }{l}}\right)^{2}I_{2}E$.

Ha a nyomott rúd nem csuklóval rendelkezik a végén, a differenciálegyenlat azonos lesz, csak a peremfeltételek lesznek eltérőek és ezek befolyásolják a törőerő nagyságát. Az alábbi ábra szerinti esetekre összefoglalóan a következő összefüggés írható:

$F_{t}=\left({\frac {\pi }{\mu l}}\right)^{2}I_{2}E$,

ahol μ a befogás fajtájától függő tényező, értéke az ábrán látható.

A gyakorlatban a törést okozó σ_t nyomófeszültséget szokás számolni:

$\sigma _{t}={\frac {F_{t}}{T}}$,

ahol T a keresztmetszet területe. A másodrendű nyomaték az i inerciasugárral is felírható:

$I_{2}=i_{2}^{2}T$,

és bevezetve a

$\lambda ={\frac {l}{i_{2}}}$,

karcsúságot, az Euler-képlet a törőfeszültségre így írható:

$\sigma _{t}=\left({\frac {\pi }{\mu \lambda }}\right)^{2}E$,

Tetmajer képlete

A törőfeszültség csak akkor számítható a fenti összefüggés segítségével, ha az az arányossági határnál kisebb. Ebben a tartományban rugalmas kihajlásról beszélünk. Ha a törőfeszültséget a karcsúság függvényében ábrázoljuk, eredményül egy másodfokú hiperbolát, az úgynevezett Euler-hiperbolát kapjuk, amely azonban csak az arányossági határig érvényes. A folyáshatár a törőfeszültség felső határát jelenti. A folyáshatár és az arányossági határ között plasztikus kihajlásról beszélünk. Ebben a tartományban Tetmajer kisérletei szerint a λ - σ_t diagramban egy egyenessel ábrázolhatók. Ezek szerint:

$\sigma _{t}=\left({\frac {\pi }{\mu \lambda }}\right)^{2}E$, ha σ_t≤σ_p

Forrás

• Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN: 963 10 359 13
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

Külső hivatkozások

• Agárdy Gyula-Lublói László: Mechanika II.