„Fermat-prímteszt” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
→Álprímek: tudom, nem a legjobb ez a bizonyítás, de majd keresek jobbat |
→Álprímek: 3. állítás bizonyításának elkezdése |
||
| 32. sor: | 32. sor: | ||
''b_2^(-1)'' a redukált mod n maradékosztályok csoportján értendő. |
''b_2^(-1)'' a redukált mod n maradékosztályok csoportján értendő. |
||
3. Ha ''n'' csak egyetlen hozzá relatív prím '' |
3. Ha ''n'' csak egyetlen hozzá relatív prím ''t'' -re is bukja a |
||
Fermat-tesztet, akkor a redukált maradékosztályoknak legalább a felére |
Fermat-tesztet, akkor a redukált maradékosztályoknak legalább a felére |
||
bukja. |
bukja. |
||
| 42. sor: | 42. sor: | ||
2. Az kell, hogy az ilyen redukált maradékosztályok csoportot alkotnak. Ez így van, mert egyrészt ''(b_1)^d(b_2)^d=(b_1b_2)^d'' (merthogy a redukált maradékosztályok csoportja kommutatív). Másrészt, ha ''b'' rendje ''d'', akkor inverzének rendje is ''d'' |
2. Az kell, hogy az ilyen redukált maradékosztályok csoportot alkotnak. Ez így van, mert egyrészt ''(b_1)^d(b_2)^d=(b_1b_2)^d'' (merthogy a redukált maradékosztályok csoportja kommutatív). Másrészt, ha ''b'' rendje ''d'', akkor inverzének rendje is ''d'' |
||
3. Legyenek most ''b_1<b_2< ... <b_k'' páronkét inkongruens alapok, amelyekre n álprím. Most tekintsünk egy olyan ''n'' -hez relatív prím ''t'' -t, amelyre ''n'' bukja a tesztet. Szorozzuk meg vele az előbbi ''b_1<b_2< ... <b_k'' számokat, ezek páronként inkongruensek lesznek. |
|||
'''Állítás''' - ''n'' bukja a tesztet ezekre a ''tb_1<tb_2< ... <tb_k'' számokra. |
|||
[[Kategória:Számelmélet]] |
[[Kategória:Számelmélet]] |
||
A lap 2008. július 13., 20:30-kori változata
A Fermat-prímteszt egy valószínűségi prímteszt. A kis Fermat-tételen alapul, ami kimondja, hogy ha p prím, akkor a^(p-1) kongruens 1 mod p, ha p nem osztója a-nak.
Menete
Legyen a tesztelendő n szám 1-nél nagyobb páratlan egész, és legyen 1<a<n. Euklidészi algoritmussal ellenőrizhető, hogy n és a relatív prímek. Ha nem azok, akkor n bukja a tesztet, összetett.
Ha n prím, akkor a^(n-1) kongruens 1 mod n. Ha nem így van, akkor n bukja a tesztet, összetett. Ha igen, akkor újabb véletlen a -val folytatódik a vizsgálat, egészen addig, amíg eléggé biztossá nem válik, hogy n valószínűleg prím. A legtöbb összetett szám ugyanis legfeljebb 1/2 valószínűséggel állja a tesztet egy véletlen a -ra.
Álprímek
Ha n összetett, és a^(n-1) kongruens 1 mod n valamely a -ra, akkor n a alapú álprím, másként pszeudoprím. Ilyen például a 341, ami álprím a 2 alapra.
Ha a kongruencia minden, az n -hez relatív prím a -ra fennáll, akkor n univerzális álprím, más néven Carmichael-szám. A legkisebb ilyen szám az 561.
Legyen most n páratlan pozitív egész. Teljesül a következő
Tétel:
1. n akkor és csak akkor álprím a b alapra, ha a mod n maradékosztályok csoportjában b rendje osztója n-1 -nek.
2. Legyen lnko(b_1,n)=lnko(b_2,n)=1. Ha n álprím a b_1 és a b_2 alapra nézve, akkor álprím a b_1b_2, és a b_1b_2^(-1) alapokra is, ahol b_2^(-1) a redukált mod n maradékosztályok csoportján értendő.
3. Ha n csak egyetlen hozzá relatív prím t -re is bukja a Fermat-tesztet, akkor a redukált maradékosztályoknak legalább a felére bukja.
Bizonyítás:
1. Ha b d rendje osztója n-1 -nek, akkor b^(n-1)kongruens 1 mod n, mert akkor n-1=kd valamely egész k -ra, így b^(n-1)=b^(kd)=(b^d)^k kongruens 1^k=1 mod n.
2. Az kell, hogy az ilyen redukált maradékosztályok csoportot alkotnak. Ez így van, mert egyrészt (b_1)^d(b_2)^d=(b_1b_2)^d (merthogy a redukált maradékosztályok csoportja kommutatív). Másrészt, ha b rendje d, akkor inverzének rendje is d
3. Legyenek most b_1<b_2< ... <b_k páronkét inkongruens alapok, amelyekre n álprím. Most tekintsünk egy olyan n -hez relatív prím t -t, amelyre n bukja a tesztet. Szorozzuk meg vele az előbbi b_1<b_2< ... <b_k számokat, ezek páronként inkongruensek lesznek.
Állítás - n bukja a tesztet ezekre a tb_1<tb_2< ... <tb_k számokra.
Források
- N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography 1994
- Freud Róber - Gyarmati Edit: Számelmélet