„Fermat-prímteszt” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
a →Menete: link jav |
a →Álprímek: link |
||
25. sor: | 25. sor: | ||
'''Tétel:''' |
'''Tétel:''' |
||
1. ''n'' akkor és csak akkor álprím a ''b'' alapra, ha a ''mod n'' |
1. ''n'' [[csakkor|akkor és csak akkor]] álprím a ''b'' alapra, ha a ''mod n'' |
||
maradékosztályok csoportjában ''b'' rendje osztója ''n-1'' -nek. |
maradékosztályok csoportjában ''b'' rendje osztója ''n-1'' -nek. |
||
A lap 2008. július 9., 20:39-kori változata
A Fermat-prímteszt egy valószínűségi prímteszt. A kis Fermat-tételen alapul, ami kimondja, hogy ha p prím, akkor a^(p-1) kongruens 1 mod p, ha p nem osztója a-nak.
Menete
Legyen a tesztelendő n szám 1-nél nagyobb páratlan egész, és legyen 1<a<n. Euklidészi algoritmussal ellenőrizhető, hogy n és a relatív prímek. Ha nem azok, akkor n bukja a tesztet, összetett.
Ha n prím, akkor a^(n-1) kongruens 1 mod n. Ha nem így van, akkor n bukja a tesztet, összetett. Ha igen, akkor újabb véletlen a -val folytatódik a vizsgálat, egészen addig, amíg eléggé biztossá nem válik, hogy n valószínűleg prím. A legtöbb összetett szám ugyanis legfeljebb 1/2 valószínűséggel állja a tesztet egy véletlen a -ra.
Álprímek
Ha n összetett, és a^(n-1) kongruens 1 mod n valamely a -ra, akkor n a alapú álprím, másként pszeudoprím. Ilyen például a 341, ami álprím a 2 alapra.
Ha a kongruencia minden, az n -hez relatív prím a -ra fennáll, akkor n univerzális álprím, más néven Carmichael-szám. A legkisebb ilyen szám az 561.
Legyen most n páratlan pozitív egész. Teljesül a következő
Tétel:
1. n akkor és csak akkor álprím a b alapra, ha a mod n maradékosztályok csoportjában b rendje osztója n-1 -nek.
2. Legyen lnko(b_1,n)=lnko(b_2,n)=1. Ha n álprím a b_1 és a b_2 alapra nézve, akkor álprím a b_1b_2, és a b_1b_2^(-1) alapokra is, ahol b_2^(-1) a redukált mod n maradékosztályok csoportján értendő.
3. Ha n csak egyetlen hozzá relatív prím b -re is bukja a Fermat-tesztet, akkor a redukált maradékosztályoknak legalább a felére bukja.
Források
- N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography 1994
- Freud Róber - Gyarmati Edit: Számelmélet