Fermat-prímteszt

A Fermat-prímteszt egy valószínűségi prímteszt. A kis Fermat-tételen alapul, ami kimondja, hogy ha p prím, akkor a^(p-1) kongruens 1 mod p, ha p nem osztója a-nak.

Menete

Legyen a tesztelendő n szám 1-nél nagyobb páratlan egész, és legyen 1<a<n. Euklidészi algoritmussal ellenőrizhető, hogy n és a relatív prímek. Ha nem azok, akkor n bukja a tesztet, összetett.

Ha n prím, akkor a^(n-1) kongruens 1 mod n. Ha nem így van, akkor n bukja a tesztet, összetett. Ha igen, akkor újabb véletlen a -val folytatódik a vizsgálat, egészen addig, amíg eléggé biztossá nem válik, hogy n valószínűleg prím. A legtöbb összetett szám ugyanis legfeljebb 1/2 valószínűséggel állja a tesztet egy véletlen a -ra.

Álprímek

Ha n összetett, és a^(n-1) kongruens 1 mod n valamely a -ra, akkor n a alapú álprím, másként pszeudoprím. Ilyen például a 341, ami álprím a 2 alapra.

Ha a kongruencia minden, az n -hez relatív prím a -ra fennáll, akkor n univerzális álprím, más néven Carmichael-szám. A legkisebb ilyen szám az 561.

Legyen most n páratlan pozitív egész. Teljesül a következő

Tétel:

1. n akkor és csak akkor álprím a b alapra, ha a mod n maradékosztályok csoportjában b rendje osztója n-1 -nek.

2. Legyen lnko(b_1,n)=lnko(b_2,n)=1. Ha n álprím a b_1 és a b_2 alapra nézve, akkor álprím a b_1b_2, és a b_1b_2^(-1) alapokra is, ahol b_2^(-1) a redukált mod n maradékosztályok csoportján értendő.

3. Ha n csak egyetlen hozzá relatív prím b -re is bukja a Fermat-tesztet, akkor a redukált maradékosztályoknak legalább a felére bukja.

Források

• N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography 1994
• Freud Róber - Gyarmati Edit: Számelmélet