Reductio ad absurdum

A reductio ad absurdum (latin: visszavezetés az abszurdra) az érvelés egy formája, amely során az érvelő a vita kedvéért elfogad egy állítást, megmutatja, hogy valamilyen képtelenség következik belőle, és ebből arra jut, hogy az állítás mégse volt igaz.

Logikai megfelelője a modus tollens: $P\to Q,\neg Q\vdash \neg P$, azaz ha P-ből következik Q, és Q nem igaz, akkor P sem igaz. A matematikai logikában az ellentmondásmentesség és bizonyos esetekben a kizárt harmadik axiómájának kell teljesülnie, hogy ez a fajta következtetés alkalmazható legyen. Az ilyen matematikai bizonyítások végét gyakran a villám (U+21AF: ↯) szimbólummal jelölik.

Retorikailag hasonló, de logikailag nem helyes érvelés a reductio ad ridiculum, amikor egy olyan következtetést vezetnek le az állításból, ami nem mindenkinek, hanem csak a hallgatóság számára abszurd.

Példák

• Klasszikus példa Eukildesz bizonyítása a prímek végtelenségére. Tételezzük fel, hogy a természetes számok között csak véges sok prím van, és jelöljük őket $p_{1}\ldots p_{n}$-nel. Ekkor a $p=(p_{1}\cdots \ldots \cdots p_{n})+1$ szám nem lehet prím, mert minden prímnél nagyobb, ugyanakkor összetett sem lehet, mert mindegyik prímmel 1 maradékot ad. Ellentmondásra jutottunk, így a prímek száma nem lehet véges.
• Egy másik klasszikus, a görög matematikából származó példa a gyök kettő irracionalitása: tegyük fel, hogy a gyök kettő racionális, azaz vannak olyan a és b egész számok, hogy ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$. Ekkor $2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$, azaz $2b^{2}=a^{2}\,$, ami ellentmondás, mert a 2 az egyik oldalon páros, a másikon páratlan kitevővel szerepel.
• Egy kocka nem bontható fel véges sok, páronként különböző kisebb kockára. Ha ugyanis felbontható lenne, akkor az alsó lapján a legkisebb kockát véve, annak csupa önmagánál nagyobb szomszédja lenne, így a rajta lévő kocka sem lehetne nagyobb nála, ami ellentmond annak, hogy a legkisebb kockát vettük.

A fenti példák mind valaminek a nemlétét bizonyítják. Ha elfogadjuk a kizárt harmadik axiómáját, akkor valaminek a léte is bizonyítható hasonló módon; a fixponttétel példa egy ilyen bizonyításra. Egyes matematikai iskolák, például az intuicionizmus, elvetik a kizárt harmadik elvét, és vele a reductio ad absurdumon alapuló egzisztenciabizonyításokat is.

Lásd még

• modus tollens
• indirekt bizonyítás
• végtelen leszállás
• reductio ad Hitlerum