„Konvex és konkáv függvény” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Mozo (vitalap | szerkesztései) idegen ki |
|||
14. sor: | 14. sor: | ||
A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak ''a'' és ''b'' az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja. |
A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak ''a'' és ''b'' az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja. |
||
== Konvex def. == |
|||
: Egy (síkbeli v. térbeli) alakzat konvex, ha bármely két pontjával együtt a két pontot összekötő szakasz pontjai is az alakzathoz tartoznak. (szögei>180°) |
|||
==Konvexitás és differenciálhatóság== |
==Konvexitás és differenciálhatóság== |
A lap 2008. április 10., 07:36-kori változata
|
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. (2006 novemberéből) |
A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvényt konvexnek nevezünk ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konvex alakzat, azaz ha egy szakasz két végpontja benne van a síktartományban, akkor a szakasz összes pontja is. Egy másik szemléletes megfogalmazás, hogy akkor konvex egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.
Az Rn egy konvex részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény esetén is szokás konvexitásról beszélni, ennek formális megfogalmazása lentebb található. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R2 R esetben) konvex.
Általános definíció
Az f: R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad, azaz tetszőleges a < b pontra az -ből és t ∈ [0,1]-re:
f konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad, azaz ha tetszőleges a < b pontra az -ből és t ∈ [0,1]-re:
Szigorúan konvexnek illetve szigorúan konkávnak nevezzük f-et, ha a fenti formulában csak akkor teljesülhet egyenlőség, ha t= 0 vagy 1.
A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak a és b az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja.
Konvexitás és differenciálhatóság
Ha az f: R intervallumon értelmezett, valós függvény differenciálható, akkor ennek konvex tulajdonsága még a következőképpen is megfogalmazható: minden -beli , számpár esetén
illetve konkáv, ha minden -beli , számpár esetén:
Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti f – T1,uf ≧ 0 illetve f – T1,uf ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges u ∈ pontnál).
Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fenáll a következő
Tétel – A konvexitás (konkavitás) jellemzése – Az f: R intervallumon értelmezett kétszer differenciálható függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).
- f konvex
- f konkáv