„Homeomorfia” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
| 42. sor: | 42. sor: | ||
A homeomorfizmust ezen karakterisztikája miatt gyakran összetévesztik a [[homotópia|homotópiával]]. ami egy folytonos deformálásnak van ''definiálva'', de ''függvények'' között, nem pedig terek között. A homeomorfizmusnál a deformálás elképzelése csak segíti nyomon követni egy ''X''-beli pont helyét az ''Y''-ban - elég csak a defomálás során bejárt útját figyelni. A homotópiában ténylegesen a deformálásról van szó, valamint sokkal gyengébb feltételeket szab, hisz ott egyik függvénynek sem kell bijektívnek lenni. |
A homeomorfizmust ezen karakterisztikája miatt gyakran összetévesztik a [[homotópia|homotópiával]]. ami egy folytonos deformálásnak van ''definiálva'', de ''függvények'' között, nem pedig terek között. A homeomorfizmusnál a deformálás elképzelése csak segíti nyomon követni egy ''X''-beli pont helyét az ''Y''-ban - elég csak a defomálás során bejárt útját figyelni. A homotópiában ténylegesen a deformálásról van szó, valamint sokkal gyengébb feltételeket szab, hisz ott egyik függvénynek sem kell bijektívnek lenni. |
||
A homeomorfia szemléltetéséhez adott deformálásnak nevet is adtak (ha a vágás és visszaragasztás nem megengedett) |
A homeomorfia szemléltetéséhez adott deformálásnak nevet is adtak (ha a vágás és visszaragasztás nem megengedett): [[Izotópia|Izotópiának]] hívják az ''X''-beli identitás és az ''X''-ből ''Y''-ba képzett homeomorfizmus között. |
||
== Források, külső hivatkozások == |
== Források, külső hivatkozások == |
||
A lap 2008. március 22., 13:51-kori változata
 |
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. |
 |
Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szöveg helyesírását és nyelvhelyességét, a tulajdonnevek átírását. Esetleges további megjegyzések a vitalapon. |
A topológiában a homeomorfia vagy topológiai izomorfia (a homoios ~ hasonló és a μορφή (morphē) görög szavakból) egy speciális izomorfia topológiai terek között. Két egymással homeomorf tér topológiai szempontból azonos.
Durván fogalmazva egy topológiai tér egy geometriai objektumnak tekinthető, és a homeomorfizmus egy folytonos deformálás (nyújtás, hajlítás, stb.) mely egy másik objektummá alakítja. Így például egy kör és egy négyzet homeomorf, sőt egy bögre és egy fánk is (feltéve, hogy a fánk lyukas). De például egy gömb és egy fánk nem (a "lyukasztás" nem megengedett).
Definíció
Az f függvényt X és Y topológiai terek között homeomorfizmusnak hívjuk, ha
Ha létezik ilyen függvény, X és Y között, akkor e két teret homeomorfnak mondjuk. A homeomorfizmus ekvivalenciareláció a topológiai terek osztályán. Ezt az ekvivalencia osztályt homeomorf osztálynak hívjuk.
Példák
- A körlap és a négyzet(lap) az euklideszi síkon (R2) homeomorf (a körlap polárkoordinátázása ugyanis homeomorfizmus)
- A (-1;1) nyílt intervallum homeomorf a valós számok halmazával (pl. az arc tg függvény homeomorfizmus a két halmaz között)
- Minden egyenletesen folytonos bijekció (melynek inverze is egyenletesen folytonos), minden bi-Lipschitz bijekció és minden távolságtartó bijekció homeomorfizmus (hiszen ezeknél a folytonossági kitétel közvetlen következmény).
- A gömbfelület egy pontját elhagyva homeomorf a síkkal (a sztereografikus projekció alkalmas homeomorf leképezés)
- Rn és Rm nem homeomorfak, ha n ≠ m (például ez R2 és R3 tekintetében azt jelentené ugyanis, hogy minden gráf síkban rajzolható lenne.)
Megjegyzések
A harmadik követelmény (miszerint az inverz függvény is folytonos) lényeges. Van ugyanis olyan függvény, mely bijektív, folytonos de az inverze nem folytonos. Vegyük például az f : [0, 2π) → S1, f(φ) = (cos(φ), sin(φ)) leképezést. Világos, hogy ennek az inverze nem folytonos, hiszen a (1,0) pontnak nem találunk olyan környezetét, mely a 0 pont 1 sugarú környzetébe képeződne.
A homeomorfizmusok a topologikus terek kategóriájának izomorfizmusai. Két homeomorfizmus kompozíciója is homeomorfizmus és egy X teret saját magára képező homeomorfizmus (X → X) halmaza csoportot alkot, melyet homeomorfizmus csoportnak hívnak. Ezt gyakran Homeo(X)-szel jelölik.
Tulajdonságok
- Két egymással homeomorf tér ugyanazokkal a topológiai tulajdonságokkal bír. Például ha egyikük kompakt, akkor a másik is; ha egyikük összefüggő, akkor a másik is. Ez persze a metrikus tereken definiált tulajdonságokra nem terjed ki. Léteznek metrikus terek, melyek egymással homeomorfak, s az egyik teljes, a másik pedig nem.
Kötetlen diszkusszió
Az egymásba derformálhatóság (nyújtás, hajlítás, vágás, ragasztás) megfelelő alkalmazása kis tapasztalatot igényel - Például talán nem egyértelmű a definícióból, de egy szakaszt nem lehet ponttá deformálni. Továbbá fontos megjegyezni, hogy a fent megadott formális definíció a mérvadó.
A homeomorfizmust ezen karakterisztikája miatt gyakran összetévesztik a homotópiával. ami egy folytonos deformálásnak van definiálva, de függvények között, nem pedig terek között. A homeomorfizmusnál a deformálás elképzelése csak segíti nyomon követni egy X-beli pont helyét az Y-ban - elég csak a defomálás során bejárt útját figyelni. A homotópiában ténylegesen a deformálásról van szó, valamint sokkal gyengébb feltételeket szab, hisz ott egyik függvénynek sem kell bijektívnek lenni.
A homeomorfia szemléltetéséhez adott deformálásnak nevet is adtak (ha a vágás és visszaragasztás nem megengedett): Izotópiának hívják az X-beli identitás és az X-ből Y-ba képzett homeomorfizmus között.