Részbenrendezett halmaz

Részbenrendezett halmaz Hasse diagramja

A matematikában részbenrendezett halmaznak (vagy más néven parciálisan rendezett halmaznak) nevezünk egy halmazt, ha definiálva van a halmaz elemein egy részbenrendezés (vagy más néven parciális rendezés), azaz egy reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív reláció. Részbenrendezett halmazok esetében tehát nem követeljük meg, hogy az alaphalmaz bármely két eleme összehasonlítható legyen.

Részbenrendezett halmazok ábrázolására általában Hasse diagramot használunk.

Definíció

Az $(A;\leq )$ párt részbenrendezett halmaznak nevezzük, ha $A$ tetszőleges halmaz, $\leq$ pedig $A$-n értelmezett részbenrendezés, azaz tetszőleges $a,b,c\in A$ elemekre teljesülnek a következők:

I) $a\leq a$

II) ha $a\leq b$ és $b\leq a$, akkor $a=b$

III) ha $a\leq b$ és $b\leq c$, akkor $a\leq c$

Példák

• A természetes számok halmazán értelmezett oszthatóság reláció részbenrendezés.
• Definíció szerint minden rendezett halmaz részbenrendezett.

Lásd még

• Kuratowski–Zorn-lemma
• Hausdorff–Birkhoff-tétel
• Háló

Hivatkozások

• Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
• Szász Gábor: Bevezetés a hálóelméletbe, Akadémiai Kiadó, Budapest (1959)
• Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

Külső hivatkozások

• Partially Ordered Set a MathWorld oldalán