„Gömbkoordináták” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
→Differenciál, térfogatelem, felszínelem, vonalelem: Metrika és forgatómátrix |
→Metrika és forgatómátrix: Vektorterek és operátorok transzformációja |
||
135. sor: | 135. sor: | ||
</math> |
</math> |
||
[[forgatómátrix]]. |
[[forgatómátrix]]. |
||
==Vektorterek és operátorok transzformációja== |
|||
A következőkben vektorok és operátorok transzformációit mutatjuk be. Az eredmények leírásánál előnyben részesítjük a kompakt mátrixos formát. A legtöbb kijelentés és képlet a <math>z</math>-tengelyen kívüli pontokra vonatkozik, ahol a Jacobi-determináns nem nulla. |
|||
===A vektortérbázis transzformációja=== |
|||
A <math>\varphi</math> koordinátához tartozó <math>\mathbf{e}_\varphi</math> bázisvektor adja meg egy<math>P(r, \theta, \varphi)</math> pont mozgásirányát, ha a <math>\varphi</math> koordinátát a <math>d\varphi</math> infinitezimális mennyiséggel elmozdítjuk: |
|||
:<math>\mathbf{e}_\varphi \sim \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial\varphi}</math>. |
|||
==Jegyzetek== |
==Jegyzetek== |
A lap 2022. június 4., 19:29-kori változata
A koordinátageometriában a gömbi koordináták vagy térbeli polárkoordináta-rendszer egy háromdimenziós koordinátarendszer, amiben a pontok helyét az origótól mért távolságuk és két szög adja meg.
Az origó középpontú gömbökön az origótól mért távolság konstans. Így ezeken a felületeken a pontok helyét két szöggel lehet meghatározni. Ezek a gömbi koordináták.[1][2] A gömbi koordináták kifejezést pontatlanul alkalmazhatják az általános esetre és a speciális esetre is.
A gömbi koordináták a síkbeli polárkoordináta-rendszer egyik általánosítása. Egy másik általánosítás a hengerkoordináta-rendszer.
Konvenciók
Definíció
Egy gömbi koordinátarendszert a háromdimenziós euklideszi térben a következők határoznak meg:
- egy középpont, origó
- egy, az origón áthaladó irányított egyenes (pólustengely). Ez tűzi ki a pólus irányát, és ez rögzíti az egyenlítősíkot is, ami az origóban a pólusegyenesre állított merőleges sík
- egy rögzített irány az egyenlítősíkon
Gyakran egy Descartes-féle koordinátarendszert is használnak a gömbi koordinátarendszerrel együtt. Ekkor:
- annak origója a gömbi koordinátarendszer origója
- annak pólustengelye a z-tengely (így az x és y-tengelyek az egyenlítősíkban vannak
- annak x-tengelye az egyenlítősíkon rögzített irány, így az y-tengely is egyértelműen meghatározott
A matematikában és a fizikában általában a következő koordinátákat használják:
- a sugár, a pont origótól mért távolsága
- vagy ,[3] polárszög vagy polártávolságszög,[4] a pólusirány és az origóból a ponthoz húzott irányított szakasz szöge. Ez a szög és közötti (0°-tól 180°-ig terjed), és a gömbfelületen egy kört határoz meg.
- vagy ,[3] azimutszög,[4] az egyenlítősíkban rögzített irány és az origó és a pont közötti szakasz merőleges vetületének szöge. Ennek nagysága -től -ig (−180°-tól 180°-ig) vagy 0-tól -ig terjed (0°-tól 360°-ig). A hosszúsági szög megfelelője.
Átszámítások
Minden hármashoz hozzá van rendelve egy pont. Koordinátái a fentiek szerint választott Descartes-koordinátarendszerben:
Ezekbe az egyenletekbe bármely , és koordináta behelyettesíthető. Ahhoz, hogy a koordináták egyértelműek legyenek, korlátozni kell értékeiket. Általában: nemnegatív, értéke illetve [0, 180°] eleme, és a illetve (−180°, 180°], vagy a illetve [0, 360°) intervallumba esik. Vannak pontok, melyeknek így is többféleképpen koordinátázhatók. A z-tengely pontjai esetén tetszőleges. Az origó számára is tetszőleges. Az egyértelműség kedvéért rögzíthetjük, hogy , és az origó esetén .
A többi pont esetén a fentiek szerint választott Descartes-koordinátarendszerben adott koordinátáikból az gömbkoordináták a következőképpen számíthatók:[5]
Ezek az egyenletek felteszik, hogy értéke és és közötti. Ha értéke 0 és közötti, akkor az egyenleteket ennek megfelelően kell módosítani.
Az analízisben és alkalmazásaiban a szögkoordináták többnyire ívmértékben adják meg.
Alkalmazások
A gömbkoordinátákat gyakran használják forgásszimmetrikus rendszerek vizsgálatára. Példák: térfogatintegrálok gömbön, forgásszimmetrikus erőterek, mint például gömb alakú égitestek gravitációja, egy ponttöltés elektromos tere (lásd még: felszíni integrál). A képleteket egyszerűsíti, ha függetlenek egy vagy két gömbi koordinátától. Fontos parciális differenciálegyenletek, mint például a Laplace-egyenlet vagy a Helmholtz-egyenlet gömbi koordinátákban a változók szétválasztásával könnyen megoldhatók.
Alternatív jelölések
A fenti konvenció nemzetközileg használatos az elméleti fizikában. Néha a és jelöléseket fordítva használják, különösen az amerikai szakirodalomban.
A nem ugyanaz, mint a földrajzi szélesség; inkább ko-szélességként definiálható. A földrajzi szélességet az egyenlítősík és az adott pont helyvektora által bezárt szög, értéke és közötti. Ha ezt jelöli, akkor . Ezzel szemben minden további nélkül megfelel a földrajzi hosszúságnak.
A fenti konvenció inkonzisztens a síkbeli polárkoordináta-rendszer felépítésével. Egyes problémákhoz praktikusabb az
ábrázolás. Ebben az ábrázolásban a földrajzi szélesség.
Egy pont, illetve helyvektor visszatranszformációja:
- ,
ahol .
Differenciálok transzformációja
Jacobi-mátrix
Egy koordináta-transzformáció helyi tulajdonságait Jacobi-mátrixszal írják le. A gömbkoordináták transzformációját a fenti Descartes-féle koordinátarendszerbe a következő mátrix írja le:
A hozzá tartozó funkcionáldetermináns:
A transzformáció inverzét legegyszerűbben a mátrix invertálásával számolhatjuk ki:
A mátrix néhány komponense olyan tört, melynek nevezője nullává válik, ha vagy , tehát vagy . Kevésbé szokásos az ábrázolás Descartes-koordinátákkal:
Differenciál, térfogatelem, felszínelem, vonalelem
A Jacobi-mátrix lehetővé teszi, hogy a differenciálok átszámítását átláthatóan átírjuk lineáris leképezéssé:
illetve
- .
A térfogatelem egyszerűen számítható a
funkcionáldeterminánssal, azaz:
- .
A differenciállal kapjuk egy sugarú gömbön a felszínelemet:
- .
A vonalelem számítható, mint:
Metrika és forgatómátrix
A vonalelem vegyes tagjainak hiánya visszatükrözi, hogy a metrikus tenzornak sincsenek koordinátái a főátlón kívül:
A metrikus tenzor nyilván a
diagonális mátrix négyzete. Ennek segítségével a Jacobi-mátrix írható úgy, mint , ahol az
Vektorterek és operátorok transzformációja
A következőkben vektorok és operátorok transzformációit mutatjuk be. Az eredmények leírásánál előnyben részesítjük a kompakt mátrixos formát. A legtöbb kijelentés és képlet a -tengelyen kívüli pontokra vonatkozik, ahol a Jacobi-determináns nem nulla.
A vektortérbázis transzformációja
A koordinátához tartozó bázisvektor adja meg egy pont mozgásirányát, ha a koordinátát a infinitezimális mennyiséggel elmozdítjuk:
- .
Jegyzetek
- ↑ Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker. Oldenbourg Verlag, Seite 169.
- ↑ F. W. Schäfke: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, 1963, ISBN 978-3-642-94867-1, Seite 129.
- ↑ a b Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9.
- ↑ a b Archiválva [Dátum hiányzik] dátummal a(z) www-m8.ma.tum.de archívumban Hiba: ismeretlen archívum-URL. (PDF; 59 kB). Skript an der TU München.
- ↑ Kugelkoordinaten. Mathematik-Online-Lexikon der Universität Stuttgart.