„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
→Struktúrája: Karakterisztikus függvény |
|||
45. sor: | 45. sor: | ||
</math> |
</math> |
||
Ez bijekció <math>\mathcal P(X)</math> és <math>\{0, 1\}^X</math> között. Ez motiválja a <math>\mathcal P(X)</math> és a <math>2^X</math> jelöléseket, mivel a természetes számok Neumann-modelljében <math>2 = \{0, 1\}</math> (általában: <math>n = \{0, ..., n-1\}</math>) |
Ez bijekció <math>\mathcal P(X)</math> és <math>\{0, 1\}^X</math> között. Ez motiválja a <math>\mathcal P(X)</math> és a <math>2^X</math> jelöléseket, mivel a természetes számok Neumann-modelljében <math>2 = \{0, 1\}</math> (általában: <math>n = \{0, ..., n-1\}</math>) |
||
Az <math>\mathcal P(X) \cong \{0, 1\}^X</math> megfeleltetés tisztán bijekció, azonban megfelelő műveleteket definiálva izomorfizmussá tehető. |
|||
==Számossága== |
|||
A következőkben <math>|H|</math> jelöli egy <math>H</math> halmaz számosságát. |
|||
* Ha <math>X</math> véges, akkor <math>|\mathcal P(X)| = 2^{|X|}</math>. |
|||
* Minden halmazra teljesül Cantor tétele: <math>|X| < |\mathcal P(X)|</math>. |
|||
==Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz-fogalmai== |
==Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz-fogalmai== |
A lap 2020. június 14., 16:54-kori változata
A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát. A halmazok halmazát Ernst Zermelo és Gerhard Hessenberg is vizsgálta. A hatványhalmaz elnevezés későbbi.
Definíció
Ha halmaz, akkor -val jelöljük és a halmaz hatványhalmazának nevezzük a összes részhalmazainak halmazát. Vagy másképpen: ahol a szimbólum a részhalmaz-reláció jele.
A hatványhalmaz halmazrendszer, azaz egy olyan halmaz, melynek elemei halmazok. A rendszer elemei közé tartoznak a nem valódi részhalmazok, így az üres halmaz, és is. További jelölései: és .
Példa
Ha az háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:
- nullaelemű részhalmaza az üres halmaz
- egyelemű részhalmazai az , a és a
- kételemű részhalmazai: , és
- egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga:
Tehát
További példák:
Struktúrája
A tartalmazás reláció részben rendezés a hatványhalmazon, de nem teljes rendezés, ha a teljes halmaz legalább kételemű. A legkisebb elem az , a legnagyobb a teljes halmaz.
A részben rendezés teljes háló. Ez azt jelenti, hogy minden részhalmazának van közös legnagyobb alsó korlátja és legkisebb felső korlátja. Konkrétan ez a metszet, illetve az unió. Jelben, ha , akkor:
A legnagyobb, illetve legkisebb elemek legnagyobb alsó korlátja, illetve legkisebb felső korlátja:
Ha hozzávesszük a komplementerképzést, mint , akkor Boole-háló, azaz distributív és komplementeres háló.
Minden Boole-háló indukál egy egyértelmű kommutatív gyűrűszerkezetet, ez az úgynevezett Boole-gyűrű. Műveletei az halmazon a szimmetrikus differencia, mint összeadás, és a metszet, mint szorzás. Az összeadás semleges eleme az üres halmaz, és a szorzás semleges eleme a teljes halmaz.
Karakterisztikus függvény
Ha az alaphalmaz , akkor minden részhalmazhoz hozzárendelhető egy karakterisztikus függvény, amelyre:
Ez bijekció és között. Ez motiválja a és a jelöléseket, mivel a természetes számok Neumann-modelljében (általában: )
Az megfeleltetés tisztán bijekció, azonban megfelelő műveleteket definiálva izomorfizmussá tehető.
Számossága
A következőkben jelöli egy halmaz számosságát.
- Ha véges, akkor .
- Minden halmazra teljesül Cantor tétele: .
Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz-fogalmai
Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a kijelentésből képezett halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz-axiómának nevezzük.
Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer
ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz-axiómának nevezzük a következő formulát:
ahol jelöli az formulát.
Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: „H halmaz”. Rövidítsük az -t -val. Ekkor a hatványhalmaz-axióma a következő formula:
Bourbaki-halmazelmélet
A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén jelöli az formulát, melynek jelentése: „az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)”. Ha tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz-axióma ekkor a következő formula:
ahol jelöli az formulát.
Tételek a hatványhalmazról
- Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága .
- Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló hatványozásra utaló jelölést.
- Tétel – (Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén számossága nagyobb H számosságánál.
Jelben: .
- Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören: .
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.
- Állítás – Ha H halmaz, akkor a
- és (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
- a -val és -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
- a relációval ellátva Boole-hálót alkot.
Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt -algebra (szigma-algebra).
Történeti adalékok
Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: , ami ellentmondás.
Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.
További információk
Felhasznált irodalom
Bourbaki halmazelméletéről
- Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)
- Kristóf János, Az analízis elemei I., ELTE jegyzet, 1996.
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)
- Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
- Cikk a Bourbaki-csoportról