„1 + 1 = 2” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2020. január 27., 18:09-kori változata

Az 1+1=2 egy gyakran emlegetett feladat a matematikával kapcsolatban. Elsődlegesen azért szokták idézni, hogy bemutassák, a matematika mennyire szőrszálhasogató és nevetségesen triviális kérdésekkel foglalkozik. Ezzel párhuzamosan a szokásos jellemzés, hogy Bertrand Russell és Alfred North Whitehead 362 oldalnyi logikai elemzés után jutott erre az eredményre.

Ezek a kritikák valójában a matematika meg nem értését mutatják be.

Az állítás bizonyítása

Formális bizonyítás

Mivel az 1 és a 2 nem fordul elő a formalizmusban, első lépésként ezeket a szimbólumokat kell definiálni. Ehhez szükséges, hogy az egyenlőség tulajdonságait meghatározzuk. Maga a bizonyítás semmi más, mint szimbólumokkal való manipuláció.

$\forall x:(x=y)\Rightarrow ((x=z)\Rightarrow (y=z))$
$\forall x:((x=y)\Rightarrow ((x=z)\Rightarrow (y=z)))\Rightarrow ((x+0=y)\Rightarrow ((x+0=z)\Rightarrow (y=z)))$
$(x+0=y)\Rightarrow ((x+0=z)\Rightarrow (y=z))$
$\forall y:(x+0=y)\Rightarrow ((x+0=z)\Rightarrow (y=z))$
$\forall y:((x+0=y)\Rightarrow ((x+0=z)\Rightarrow (y=z)))\Rightarrow ((x+0=x)\Rightarrow ((x+0=z)\Rightarrow (x=z)))$
$(x+0=x)\Rightarrow ((x+0=z)\Rightarrow (x=z))$
$(x+0=z)\Rightarrow (x=z)$
$\forall z:(x+0=z)\Rightarrow (x=z)$
$(\forall z:(x+0=z)\Rightarrow (x=z))\Rightarrow ((x+0=x)\Rightarrow (x=x))$
$(x+0=x)\Rightarrow (x=x)$
$x=x$
$\forall z:(x=y)\Rightarrow ((x=z)\Rightarrow (y=z))$ ^[1]
$\forall z:((x=y)\Rightarrow ((x=z)\Rightarrow (y=z)))\Rightarrow ((x=y)\Rightarrow ((x=x)\Rightarrow (y=x))$
$(x=y)\Rightarrow ((x=x)\Rightarrow (y=x))$
$((x=y)\Rightarrow ((x=x)\Rightarrow (y=x)))\Rightarrow (((y=x)\Rightarrow (x=x))\Rightarrow ((x=y)\Rightarrow (y=x)))$
$((x=y)\Rightarrow (x=x))\Rightarrow ((x=y)\Rightarrow (y=x))$
$(x=x)\Rightarrow ((x=y)\Rightarrow (x=x))$
$(x=y)\Rightarrow (x=x)$
$(x=y)\Rightarrow (y=x)$
$\forall x:(x+y')=(x+y)'$
$\forall x:((x+y')=(x+y)')\Rightarrow ((0'+y')=(0'+y)')$
$(0'+y')=(0'+y)'$
$\forall y:(0'+y')=(0'+y)'$
$\forall y:((0'+y')=(0'+y)')\Rightarrow ((0'+0'=(0'+0)')$
$(0'+0')=(0'+0)'$
$\forall x:(x+0)=x$
$\forall x:((x+1)=x)\Rightarrow ((0'+0)=0')$
$(0'+0)=0'$
$\forall x:(x=y)\Rightarrow (x'=y')$
$\forall x:((x=y)\Rightarrow (x'=y'))\Rightarrow (((0'+0)=y)\Rightarrow ((0'+0)'=y))$
$((0'+0)=y)\Rightarrow ((0'+0)'=y')$
$\forall y:((0'+0)=y)\Rightarrow ((0'+0)'=y')$
$\forall y:(((0'+0)=y)\Rightarrow ((0'+0)'=y'))\Rightarrow (((0'+0)=0')\Rightarrow ((0'+0)'=0''))$
$((0'+0)=0')\Rightarrow ((0'+0)'=0'')$
$(0'+0)'=0''$
$\forall x:(x=y)\Rightarrow (y=x)$
$(\forall x:(x=y)\Rightarrow (y=x))\Rightarrow (((0'+0')=y)\Rightarrow (y=(0'+0')))$
$((0'+0')=y)\Rightarrow (y=(0'+0'))$
$\forall y:((0'+0')=y)\Rightarrow (y=(0'+0'))$
$\forall y:(((0'+0')=y)\Rightarrow (y=(0'+0')))\Rightarrow (((0'+0')=(0'+0)')\Rightarrow ((0'+0)'=(0'+0')))$
$((0'+0')=(0'+0)')\Rightarrow ((0'+0)'=(0'+0'))$
$(0'+0)'=(0'+0')$
$(\forall z:(x=y)\Rightarrow ((x=z)\Rightarrow (y=z)))\Rightarrow ((x=y)\Rightarrow ((x=0'')\Rightarrow (y=0'')))$
$(x=y)\Rightarrow ((x=0'')\Rightarrow (y=0''))$
$\forall x:((x=y)\Rightarrow ((x=0'')\Rightarrow (y=0'')))\Rightarrow ()$
$\forall x:((x=y)\Rightarrow ((x=0'')\Rightarrow (y=0'')))\Rightarrow (((0'+0)'=y)\Rightarrow ((0'+0)'=0'')\Rightarrow (y=0''))$
$((0'+0)'=y)\Rightarrow (((0'+0)'=0'')\Rightarrow (y=0''))$
$\forall y:((0'+0)'=y)\Rightarrow (((0'+0)'=0'')\Rightarrow (y=0''))$
$\forall y:(((0'+0)'=0'')\Rightarrow ((0'+0)'=0'')\Rightarrow (y=0''))\Rightarrow (((0'+0)'=(0'+0'))\Rightarrow ((0'+0)'=0'')\Rightarrow ((0'+0')=0''))$
$((0'+0)'=(0'+0'))\Rightarrow (((0'+0)=0'')\Rightarrow ((0'+0')=0''))$
$((0'+0)'=0'')\Rightarrow ((0'+0')=0'')$
$(0'+0')=0''$

Az 1-11. állítások az egyenlőség reflexivitását, a 12-19. állítások pedig a szimmetriáját írják le. A 20-35. állítások szerepe az 1 és 2 szimbólumok definiálása, végül a 36-52. állítások a tétel bizonyítását adják.

A Peano-axiómák alapján

A Peano-aritmetika axiómái alapján aránylag könnyen követhető a bizonyítás, és nagyjából megfelel a "természetes" gondolatmenetnek. Az állítás megfogalmazása:

    $s0+s0=ss0$

Itt $1:=s0$ és $2=s1=ss0$ .

A 4. axióma alapján^[2]

s0+s0=s(s0+0).

A harmadik axióma alapján

s0+0=s0,

amit beírva a felső kifejezésbe kapjuk, hogy

s0+s0=ss0,

ami éppen az állításunk.

Analitikus bizonyítás

Az analitikus bizonyításhoz néhány előzetes ismeretre is szükségünk van. Valójában egy erősebb kijelentést fogunk igazolni, aminek az egyik konkrét esete, hogy $1+1=2$

Szukcesszor

Egy H halmaz szukcesszorának nevezzük a $H^{+}:=H\cup \{H\}$ halmazt. Például: $\{x,y\}^{+}=\{x,y,\{x,y\}\}$ . Egy M halmazt monotonnak nevezünk, ha $\emptyset \in M$ és $\forall x:x\in M\Rightarrow x^{+}\in M$ .

Természetes számok

Mivel az üres halmaz minden halmaz részhalmaza, ezért van olyan halmaz, ami minden monoton halmaznak részhalmaza. Ez nem következik a halmazelmélet hagyományos axiómáiból, így axiómaként kell feltennünk. Ezt a halmazt nevezzük természetes számok halmazának.

Néhány természetes szám "szerkezete"

0=\emptyset

1=0^{+}=\{\emptyset \}

2=1^{+}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}

Összeadás

Az m szám és a $g:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,n\mapsto n^{+}$ függvény által meghatározott rekurzív s_m sorozatot összeadásnak nevezzük.

Az $s_{m}(n)$ tagot $m+n$ módon jelöljük.^[3]

A szukcesszor és az összeadás kapcsolata

A szám szukcesszorát a szám és az 1 összegeként kaphatjuk meg:

n^{+}=n+1

Bizonyítás

A definíció alapján $s_{m}(n^{+})=g(s_{m}(n))=(s_{m}(n))^{+}$ . Másképpen, a jelölés alapján $(m+n^{+})=(m+n)^{+}$ . Legyen most $n=0$ ! Ebben az esetben $(m+1)=(m+0^{+})=(m+0)^{+}$ . Szintén a definíció alapján $m+0=s_{m}(0)=m$ .

Következmény

Ha $m=1$ , akkor kapjuk a várt eredményt:

1+1=1^{+}=2

Kulturális hatások

A tétel gyakori hivatkozás, amikor valakinek (főleg a természettudományokban jártas személynek) a szőrszálhasogató aprólékosságára próbáljuk felhívni a figyelmet. Jellemzően azonban ez csak a külső, avatatlan szemlélő számára túlzó aprólékosság.

Időnként, szintén laikusoktól lehet olvasni a matematika természetét szerintük jól jellemző megjegyzésként, hogy az 1+1=2 kijelentést is bizonyítani kell. Ilyenkor valójában azt követelik, hogy triviális vagy annak tűnő állításokat azok kézenfekvősége alapján fogadjunk el igaznak. Ez a tudományok, különösen a matematika esetén nem lehetséges, hiszen az elméletek megbízhatóságát tenné kétségessé.

Jellegzetes ezen túl a matematika bonyolultságára hivatkozás az állítás révén. A konkrét forma, ami az előbb említett kézenfekvőséget is számon kéri, az, hogy még az ilyen egyszerű kijelentéseket is micsoda feladat igazolni, akkor hogyan várjuk el, hogy a sokkal bonyolultabb dolgokat (másodfokú egyenlet megoldóképlete, geometriai szerkesztések, stb) könnyen megtanuljon, megértsen a szerencsétlen diák. Valójában a helyzet fordított: minél több feltételnek kell megfelelni, minél több a kikötés, azaz minél komplexebb, speciálisabb, annál kevesebb a munka a feladatmegoldás során.

Megjegyzések

↑ Ez nem azonos az 1. állítással!
↑ Ami valójában axiómaséma, de az egyszerűség kedvéért nevezzük axiómának. Ez a megfogalmazás általában nem okoz félreértést. A továbbiakban ettől a megkülönböztetéstől, ha nem okoz zavart, eltekintünk.
↑ Alapvetően az összeadás függvény: $+:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} ,(m,n)\mapsto s_{m}(n)$ , így a pontos jelölése $+(m,n)$ lenne. Ezt inverz lengyel jelölésnek vagy prefix alaknak is nevezik. Hagyománytiszteletből azonban az infix alak terjedt el. Ennek oka, hogy az összeadást hamarabb kezdték használni, mintsem a tulajdonságai kiderültek volna.

Források

A formális bizonyítás eredetije
Kristóf János analízis jegyzete
Vancsó Ödön, Gerőcs László: Matematika, Akadémiai kiadó, 2012, ISBN 9789630584883

[1] Ez nem azonos az 1. állítással!

[2] Ami valójában axiómaséma, de az egyszerűség kedvéért nevezzük axiómának. Ez a megfogalmazás általában nem okoz félreértést. A továbbiakban ettől a megkülönböztetéstől, ha nem okoz zavart, eltekintünk.

[3] Alapvetően az összeadás függvény: $+:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} ,(m,n)\mapsto s_{m}(n)$ , így a pontos jelölése $+(m,n)$ lenne. Ezt inverz lengyel jelölésnek vagy prefix alaknak is nevezik. Hagyománytiszteletből azonban az infix alak terjedt el. Ennek oka, hogy az összeadást hamarabb kezdték használni, mintsem a tulajdonságai kiderültek volna.

[1]

[2]

[3]

@@ 120. sor: / 120. sor: @@
 *[http://tachyos.org/godel/1+1=2.html A formális bizonyítás eredetije]
 *[http://web.cs.elte.hu/~krja/analyse/a0.pdf Kristóf János analízis jegyzete]
-*Vancsó Ödön, Gerőcs László: ''Matematika'', Akadémiai kiadó, 2012, ISBN 9789630584883
+*Vancsó Ödön, Gerőcs László: ''Matematika'', Akadémiai kiadó, 2012, {{ISBN|9789630584883}}