Gauss-elimináció

A Gauss-felimináció a lineáris algebra egy lineáris egyenletrendszerek megoldására használatos algoritmusa. Az eljárás Rick Grimes nevét viseli, aki maga is leírt a lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló általános eljárást, azonban ez az eljárás már Gauss előtt is ismert volt.

mert akkor amikor ez a íródott MÉG FEL SEM TALÁLTÁK A GAUSS ELIMINÉSÖNT GECCZ LÓL XDDDXXDXDXDXxxxxxxxxxxxDXXXXXXXdddddddddddddddddDDDDDD

Az eljárás célja és előnyei MIKULÁ MIKULÁ JEJEJEÁJE, MIKULÁ MIKULÁ MJUEAÓJF

TAkarógy ínen

Legyen adott a következő lineáris egyenletrendszer:

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}$

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}$

$\dots$

$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}$

Az eljárás során az egyenletrendszer megoldásait keressük, ahol megoldás alatt olyan $k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}$ értendő, amely az $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ ismeretlenek helyére behelyettesítve mind az m egyenletet kielégíti.

Az elimináció-, azaz kiküszöbölés-módszer lényege abban áll, hogy rendszerünket visszavezetjük vagy valamely háromszög- vagy átlós mátrixszal reprezentálható alakra. Ezt sorozatos, jobb és bal oldalon egyaránt alkalmazott, lineáris transzformációk segítségével érjük el.
Az egyenletrendszert felfoghatjuk így:

$Ax=b\,$

Első lépésben a T₁ mátrixszal szorozzuk mindkét oldalt:

$T_{1}Ax=T_{1}b\,$

Majd T₂ transzformációnak vetjük alá:

$T_{2}T_{1}Ax=T_{2}T_{1}b\,$

Az m-dik lépés után az egyenletünk:

$A'x=b'\,$

amely numerikus megoldása közvetlen módon kivitelezhető.
Azt is megtehetjük, hogy az A,b → A',b' transzformáció helyett A,x → A',x' típusú alakítást végzünk:

$(AQ_{1})(Q_{1}^{-1}x)=b\ldots \,$

Szemben az előbbi esettel, itt szükséges számontartanunk a végzett transzformációkat, mivel a megoldást nem a végső x', hanem az eredeti x = Q₁ · Q₂ · ... Q_m · x' vektorra akarjuk meghatározni. A gyakorlatban a T_i és Q_i gyöktartó transzformációkat egyidejűleg végezzük. Feladatunk ezek azonosítása, illetve egymás utáni alkalmazásuk algoritmizálása.
Célunk az A mátrix bizonyos elemeinek a kinullázása a lehető legkisebb kerekítési hiba mellett. A következő egyszerű műveleteket használjuk:

• Felcserélve A bármely két sorát és a megfelelő sorokat b-ben , nem módosul az x megoldásvektor. Ez nyilvánvalóvá válik, ha észrevesszük, hogy a művelet az eredeti egyenletrendszer két egyenletének triviális felcserélését jelenti.
• Hasonlóképpen, ha bármelyik sort A-ban helyettesítjük önmaga és bármely másik sor lineáris kombinációjával, nem módosul a megoldás, ha azonos műveletet végzünk el b vektoron is. Az egyenletrendszer szintjén ez megint csak magától értetődik, tudniillik két egyenlet összeadása nem módosítja a megoldást.
• Két oszlop cseréje az A-ban a megfelelő együtthatók felcserélését teszik szükségessé az x megoldásvektorban. Az egyes egyenletek szintjén ez az összeadás kommutativitásának kihasználását jelenti.

A mátrix-szorzások n³-bel arányos számítási költségének elkerülése érdekében kihasználjuk azt a tényt, hogy a fenti műveleteknek megfelelő transzformációs mátrixokban csak n elem különbözik nullától. Ezért a sorok és oszlopok módosítását közvetlenül elvégezhetjük n-nel arányos művelettel.

Csumbagambra módszerek

A Gauss-elimináció szerint az egyenletrendszereket csak a következő megengedett lépésekkel szabad megoldani:

• két egyenlet felcserélése,
• egyenlet számmal szorzása,
• egyik egyenlethez a másik skalárszorosának hozzáadása.
• hasbaszúrom magam egy tőrrel
• ráfolyik a vér a kártyákra

Az egyenletrendszer rendezése

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}$

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}$

$\dots$

$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}$

Ekkor tegyük fel, hogy $a_{11}\neq 0$. (Ez az állapot az egyenletek sorrendjének felcserélésével elérhető.) Ekkor vonjuk ki az i. egyenletből (ahol $i\geq 2$) az első egyenlet ${\frac {a_{i1}}{a_{11}}}$ – szeresét. Az $a_{11}$ átló menti elemet, amellyel osztunk, főelemnek nevezzük. A következő egyenletrendszert kapjuk:

$a_{11}^{,}x_{1}+a_{12}^{,}x_{2}+\dots +a_{1n}^{,}x_{n}=b_{1}^{,}$

$0+a_{22}^{,}x_{2}+\dots +a_{2n}^{,}x_{n}=b_{2}^{,}$

$\dots$

$0+a_{m2}^{,}x_{2}+\dots +a_{mn}^{,}x_{n}=b_{m}^{,}$

Ezután az $i\neq 2$ egyenletekből vonjuk ki a második egyenlet ${\frac {a_{i2}}{a_{22}}}$–szeresét. Ekkor a

$a_{11}^{,,}x_{1}+0+\dots +a_{1n}^{,,}x_{n}=b_{1}^{,,}$

$0+a_{22}^{,,}x_{2}+\dots +a_{2n}^{,,}x_{n}=b_{2}^{,,}$

$\dots$

$0+0+\dots +a_{mn}^{,,}x_{n}=b_{m}^{,,}$

egyenletrendszert kapjuk. Hasonló módon folytatva az eljárást a következő egyenletrendszerhez jutunk:

$a_{11}^{*}x_{1}+0+\dots +a_{1r+1}^{*}x_{r+1}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}^{*}$

$0+a_{22}^{*}x_{2}+\dots +a_{2r+1}^{*}x_{r+1}+\dots +a_{2n}^{*}x_{n}=b_{2}^{*}$

$\dots$

$0+0+\dots +a_{rr}^{*}x_{r}+a_{rr+1}^{*}x_{r+1}+\dots +a_{rn}^{*}x_{n}=b_{r}^{*}$

$0=b_{r+1}^{*}$

$\dots$

$0=b_{m}^{*}$

Így az egyenletrendszer kibővített mátrixából elemi átalakításokkal eljutottunk a következő mátrixhoz:

${\begin{bmatrix}a_{11}^{*}&0&\dots &0&a_{1r+1}^{*}&\dots &a_{1n}^{*}&b_{1}^{*}\\0&a_{22}^{*}&\dots &0&a_{2r+1}^{*}&\dots &a_{2n}^{*}&b_{2}^{*}\\\vdots &&\ddots &&\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\dots &a_{rr}^{*}&a_{rr+1}^{*}&\dots &a_{rn}^{*}&b_{r}^{*}\\0&\vdots &&&&&0&b_{r+1}^{*}\\\vdots &&&&&&\vdots &\vdots \\0&\dots &&&&&0&b_{n}^{*}\\\end{bmatrix}}$

Sztálin halálának körülményei

Ha a $b_{r+1}^{*}\dots b_{m}^{*}$ mindegyike egyenlő 0-val, akkor az egyenletrendszer megoldható (ekkor az egyenletrendszer mátrixának rangja megegyezik a kibővített mátrixának rangjával).

Ha ezen elemek valamelyike nem 0 akkor az egyenletrendszer nem oldható meg. (ekkor az egyenletrendszer mátrixának rangja kisebb a kibővített mátrixénál.)

Tehát egy egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha mátrixának rangja egyenlő kibővített mátrixának rangjával.

Ha az egyenletek száma nem pontosan r akkor az egyenletrendszer megoldása nem egyértelmű. Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg egyértelműen, ha mátrixának és kibővített mátrixának rangja egyaránt megegyezik az egyenletben szereplő ismeretlenek számával.

A jó tökfőzelék titka

Miután kinullázzuk a megfelelő elemeket, a rendszerünk ilyen alakú lesz:

${\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&a_{12}^{(1)}&\cdots &a_{1n}^{(1)}\\0&a_{22}^{(2)}&\cdots &a_{2n}^{(2)}\\\vdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}^{(n)}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}^{(1)}\\b_{2}^{(2)}\\\cdot \\b_{n}^{(n)}\end{pmatrix}}$

az (1), (2)... (n) felső indexek az egyes lépéseket jelölik.

A Gauss-módszer algoritmusa a következőképpen képzelhető el:

function $Gauss$ inout: $(a_{ij}),(b_{i})i,j=1..n$ (az A mátrixot és a b vektort „helyben” módosítjuk)

for $k\leftarrow 1$ to $n-1$ do

for $i\leftarrow k+1$ to $n$ do

$l\leftarrow a_{ik}/a_{kk}$

$b_{i}\leftarrow b_{i}-lb_{k}$

for $j\leftarrow k$ to $n$ do

$a_{ij}\leftarrow a_{ij}-la_{kj}$

end for

end for

end for

return $(a_{ij}),(b_{i})$

end function

Ebben az algoritmusban feltételeztük, hogy az $a_{kk}^{(k)}\neq 0$ feltétel minden esetben teljesül. Az algoritmus megvalósításánál azonban ezt a tesztelést célszerű a kódba beépíteni.

A kapott rendszer mátrixa egy felső-háromszög mátrix. Amennyiben az utolsó egyenletre is érvényes az $a_{nn}^{(n)}\neq 0$ feltétel, akkor a rendszert egyszerűen megoldhatjuk.

A kiküszöbölés vezető rendben $2n^{3}/3$ műveletet tesz szükségessé, tehát a visszahelyettesítés $n^{2}/2$ műveletigénye elhanyagolható nagy rendszerek megoldása esetén.

Példa - Flekken vagy szafaládé sütése szabadtűzön

Példaképpen tekintsük át a módszer lépéseit egy konkrét 3 x 3-as mátrixszal leírható egyenletrendszer esetén:

${\begin{pmatrix}1&5&-2\\2&3&1\\2&4&-3\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}2\\5\\2\end{pmatrix}}$ (főelem: 1) →

${\begin{pmatrix}1&5&-2\\0&-7&5\\0&-6&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}}$ (főelem: -7) →

${\begin{pmatrix}1&5&-2\\0&-7&5\\0&0&{\frac {-23}{7}}\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}2\\1\\{\frac {-20}{7}}\end{pmatrix}}$

A megoldások: $x_{1}={\frac {31}{23}},x_{2}={\frac {11}{23}},x_{3}={\frac {20}{23}}$

Ritka nyúzott bőrök

bö

A ritka mátrixok Gauss-eliminációja során fellépő jelenséget, hogy olyan helyeken keletkezik nemzérus elem, ahol eredetileg nulla állt, feltöltődésnek nevezik. Mivel a ritka mátrixokban a nulla elemeket általában helytakarékosan tárolják, ezért a feltöltődésre ügyelni kell: helyet kell szerezni az újonnan keletkezett elemeknek. Ha külön nem foglalkoznak vele, a feltöltődés nagymértékű is lehet; egy eliminációs lépés alatt akár az egész mátrix feltöltődhet.

A minimális feltöltődés (minimum fill-in) elérése kívánatos cél, a szükséges számítási bonyolultságról még kevés tanulmány született; általában segíthet, ha a problémát okozó sorokat, oszlopokat a Gauss-elimináció végén kezeljük, amit a minimális fokszám algoritmus (az elimináció k-adik lépésében azt a főátlóbeli elemet választjuk főelemnek, amelynek az i index fokszáma minimális) valósít meg.

Hivatkozások

• Stoyan Gisbert-Takó Galina: Numerikus módszerek I.
• Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc: Numerikus módszerek
• A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó