„Vektor” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→‎Vektorműveletek: összeg és skaláris szorzat első fele.
→‎Skaláris szorzat: A skaláris szorzat kiszámítása
93. sor: 93. sor:
:<math>\vec{a}\vec{b}=a\cdot b\cdot\cos \phi</math>
:<math>\vec{a}\vec{b}=a\cdot b\cdot\cos \phi</math>
képlet szolgál, ahol <math>a</math> az <math>\vec{a}</math> vektor hossza.
képlet szolgál, ahol <math>a</math> az <math>\vec{a}</math> vektor hossza.

Könnyen belátható, hogy a skaláris szorzat kommutatív és a vektorok összeadására nézve disztributív, de nem asszociatív művelet.

A skaláris szorzat adott bázis esetén könnyebben is kiszámítható. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a bázis vektorai egymásra merőlegesek, ez mindig elérhető a [[Gram–Schmidt-eljárás]] segítségével például. Ekkor az <math>\vec{a}</math> és <math>\vec{b}</math> vektorok a bázis lineáris kombinációjaként felírva:
:<math>\vec{a}=\sum a_i\vec{e}_i</math>
:<math>\vec{b}=\sum b_i\vec{e}_i</math>
lesznek. A szorzáskor figyelembe véve a skaláris szorzat disztributivitását és az egységvektorok merőlegességét kapjuk:
:<math>\vec{a}\vec{b}=\sum a_ib_</math>.

Például számoljuk ki a <math>\vec{a}=(2,1,3)</math> és <math>\vec{b}=(4,-2,-3)</math> vektorok skaláris szorzatát:
:<math>\vec{a}\vec{b}=2\cdot4+1\cdot(-2)+3\cdot(-3)=8-2-9=-3</math>.

Nem merőleges bázisvektorok esetén a skaláris szorzat vegyes tagokat is fog tartalmazni, valamint egy, a bázist jellemző operátort.

Ha egy vektort önmagával szorzunk, akkor a definíció értelmében a hosszának a négyzetét kapjuk. Ezt a [[koszinusztétel]] bizonyítása során is kihasználjuk.


==== Vektoriális szorzat ====
==== Vektoriális szorzat ====

A lap 2019. november 9., 17:37-kori változata

A vektor a matematikában használatos fogalom, a lineáris algebra egyik alapvető jelentőségű mennyisége. Általában az ember a vektorokkal mint irányított szakaszokkal szokott találkozni, de a matematikában a jelentése ennél lényegesen bőségesebb.

Általános leírás

A vektor a matematikában egy felettébb fontos fogalom. Alkalmazásai rendkívül sokrétűek, a geometriától az absztrakt analízisig mindenhol lehet velük találkozni. Ennek megfelelően az értelmezése is többféleképpen történhet.

Maguk a vektorok a számok egyfajta általánosításainak is tekinthetőek. Ezzel a megközelítéssel főleg az algebrai definíciók dolgoznak, és ekkor legjellemzőbb alkalmazásaik az egyenletrendszerek kezelése.

Mivel a fogalom eredete a fizika, ezért fizikai és geometriai meggondolások is szolgálhatnak alapjául, ekkor főleg a viselkedésük lesz a definíció alapja. A legközkeletűbb értelmezése a fogalomnak is geometriai: olyan szakasz, amit a nagyságán túl az iránya is jellemez. Ez szinte tipizálja a fogalmat, hiszen így olyan mennyiségeket, mint a sebesség vagy az erő, kényelmesen szemléletessé tudunk tenni.[1]

A vektorok legáltalánosabb, és így legmélyebb definícióját az analízisben találjuk, ahol a vektorok egy bizonyos típusú halmazhoz rendelhető másik halmaz elemei. Ez felettes értelmezése a fenti két definíciónak, hiszen mindkettőt magába foglalja.

Definíció

Lineáris algebra

Legyen euklideszi geometriai tér. Ekkor a halmaz elemeit, mint rendezett párokat irányított szakasznak nevezzük. Tekintsük most a térben a párhuzamos eltolásokat. Ezek segítségével felett egy ekvivalenciarelációt határozhatunk meg.

Két pontpárt, -t és -t ekvivalensnek tekintünk, ha van olyan párhuzamos eltolás, hogy és .

Az ekvivalenciarelációk a halmazt faktorhalmazokra bontják. Az felett az előbbiekben bevezetett ekvivalenciareláció faktorhalmazait szabadvektoroknak, a faktorhalmazok elemeit a szabadvektor reprezentánsainak nevezzük.

Geometria

A geometriában a vektorok az eltolások, mint transzformációk meghatározásában játszanak szerepet. Legyen ugyanis és két párhuzamos sík. Ha a távolságuk , akkor a tér bármely pontjához olyan módon rendel hozzá egy pontot, hogy . Ezen túl az és pontok képe olyan, hogy és egyező irányításúak. Ezt a leképezést eltolásnak nevezzük.

Világos, hogy az eltoláshoz elegendő az pontpárt megadni, mivel ez bármely pontnak a képét megadja a fentebbiek szerint.[2] Az párt ekkor vektornak nevezzük. Eszerint egyébként a konkrét síkokra nincs is szükség, kizárólag a távolságuk és fekvésük lényeges.

A fentebbiek során a lineáris algebrai definíció szerinti osztályozást is megvalósítottuk, tehát itt is lehet beszélni az adott irányítású és hosszúságú vektorok ekvivalenciaosztályáról, amit ez alapján szabadvektornak nevezünk. Ha rögzítünk egy pontot, akkor a szabadvektorok azon reprezentánsait, amik kezdőpontja , kötött vektoroknak nevezzük. Ezek például egy koordinátarendszer pontjait határozhatják meg.

Analízis

Legyen test,[3] pedig halmaz. Ha értelmezünk két függvényt:

, amit általában összeadásnak nevezünk, és
, amit leggyakrabban skaláris szorzat néven emlegetünk,

úgy, hogy a + asszociatív, kommutatív, invertálható és van neutrális eleme, valamint és esetén

teljesül, akkor -t a test feletti vektortérnek nevezzük, elemeit pedig vektoroknak.

Mint látható, az analitikus definíció olyan mértékben absztrakt, hogy egészen furcsa halmazokat is tudunk vektortérként kezelni. Ilyen lehet például a -ben haladó konvergens sorozatok halmaza, vagy a függvények halmaza.

Vektorműveletek

Két vektor összege rajzban a paralelogramma-szabály szerint képezhető

A vektorműveletek értelmezése céljából érdemes a szemléletes és áttekinthető geometriai képből kiindulni. Ekkor a vektorokat irányított szakaszként, nyíllal ábrázoljuk, és így a jelentésük is a köznapi fogalmakkal megragadhatóvá válik. Ezeken keresztül néhány egyéb fogalom is világossá válik.

Összeadás

Miután a szabadvektorokat a reprezentánsaikkal is jellemezhetjük, két szabadvektor összegét is így tudjuk értelmezni. Az és vektorok összegzését egy köztes pont felvételével tudjuk meghatározni. Vegyünk fel egy pontot, és tekintsük az vektor azon reprezentánsát, aminek végpontja , és a vektor azon reprezentánsát, aminek kezdőpontja . Ekkor a vektor egy reprezentánsát az vektor kezdőpontja és a cégpontja jelöli ki. Ezt paralelogramma-szabálynak nevezzük. Az elnevezés a mellékelt ábra alapján válik érthetővé.

Szemléletesen, ha a vektorokat elmozdulásnak tekintjük, az vektor az pontból pontba jutást jelenti. Hasonlóan a vektor is értelmezhető, ekkor pedig az összegvektoruk az -ból -be jutást jelenti, azaz .

E definíció alapján ellenőrizhető, hogy a definícióban megkövetelt feltételek az összeadásra hogyan teljesülnek.

Szorzatok

A vektorokból a szorzásra emlékeztető művelet többféle is definiálható. Ebből egy külső, három pedig belső művelet.[4]

Skalárral szorzás

A skalárral való szorzás ötlete a szorzat, mint ismételt összeadás hasonlóságából ered:

, ha .

Mivel ebben az esetben a vektor hossza nőtt meg, adja magát, hogy a vektor -val párhuzamos, és annál -szor hosszabb bármilyen -beli elem esetén.

Mivel elemeit nevezzük skalárnak, adja magát az elnevezés is. A skalár szó ugyan számot jelent, de ez nem jelent problémát, mivel általában számhalmaz, rendszerint a valós vagy komplex számok teste.

Lineáris kombináció

A skalárral való szorzás eredménye vektor, így a vektortér eleme, és az összeadásban tag lehet. Ha adott , és , valamint , és skalárok, akkor lineáris kombinációnak nevezzük az alábbi vektort:

Általános alakban írva a lineáris kombináció:

Ennek segítségével lehet értelmezni a vektortér dimenzióját is. A nullvektort ugyanis elő lehet állítani

alakban. Ezt triviális előállításnak nevezzük. Előfordulhat azonban, hogy a zérusvektort nem nulla skalárokkal is megkaphatjuk, ekkor az rendszert lineárisan függőnek mondjuk. A legbővebb olyan rendszert, ami lineárisan független a vektortérben, a tér bázisának nevezzük. A bázis elemszáma lesz a vektortér dimenziója.

Ha pedig van egy bázisunk egy vektortérben, akkor bármely vektor megadható egyértelműen a bázis lineáris kombinációjaként. Az együtthatókat ekkor a vektor koordinátáinak nevezzük. Könnyen belátható, hogy két vektor összegének koordinátái a két vektor koordinátáinak összege.

Skaláris szorzat

Egyes fizikai összefüggések vektormennyiségekből skaláris értékek létrehozását igénylik. Ilyen például a munka kiszámításának a problémája. A definíció is őrzi a fizikai eredetet: a két vektor szorzata legyen maximális, ha párhuzamosak, és nulla, ha merőlegesek, továbbá a szorzat legyen lineáris függvénye a két vektor hosszának.

Az első feltétel szerint a szorzat a két vektor által bezárt szögtől függ. A legegyszerűbb függvény, ami ezt a feltételt kielégíti, a koszinusz függvény. A második feltétellel együtt a szorzat kiszámítására a

képlet szolgál, ahol az vektor hossza.

Könnyen belátható, hogy a skaláris szorzat kommutatív és a vektorok összeadására nézve disztributív, de nem asszociatív művelet.

A skaláris szorzat adott bázis esetén könnyebben is kiszámítható. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a bázis vektorai egymásra merőlegesek, ez mindig elérhető a Gram–Schmidt-eljárás segítségével például. Ekkor az és vektorok a bázis lineáris kombinációjaként felírva:

lesznek. A szorzáskor figyelembe véve a skaláris szorzat disztributivitását és az egységvektorok merőlegességét kapjuk:

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \vec{a}\vec{b}=\sum a_ib_} .

Például számoljuk ki a és vektorok skaláris szorzatát:

.

Nem merőleges bázisvektorok esetén a skaláris szorzat vegyes tagokat is fog tartalmazni, valamint egy, a bázist jellemző operátort.

Ha egy vektort önmagával szorzunk, akkor a definíció értelmében a hosszának a négyzetét kapjuk. Ezt a koszinusztétel bizonyítása során is kihasználjuk.

Vektoriális szorzat

Tenzori (diadikus) szorzat

A fizikában

A fizikában vektornak nevezzük az olyan mennyiségeket, amelyek a koordináta-rendszer elforgatásakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a koordinátavektor (ld. a matematikai vektor fogalmát). Ez kiterjesztése a matematikai fogalomnak, mert a fizikában nemcsak számmal, hanem mértékegységgel is jellemezzük a mennyiségeket, ezért mondjuk a hármas helykoordináta-rendszerben szigorúan véve nem tudjuk az impulzust ábrázolni, csak az irányát, a hossza tulajdonképpen önkényes. Az impulzus az impulzustérben ábrázolható. A két koordináta-rendszert el tudjuk viszont szimultán forgatni úgy, hogy a forgatást ugyanazok az Euler-szögek jellemezzék. Ha a koordináta-rendszer elforgatásakor egy másik fizikai mennyiség ilyen értelemben ugyanúgy transzformálódik, akkor az illető mennyiséget fizikai vektormennyiségnek nevezzük.

Ha a koordináta-rendszer tükrözését – ami mindegyik koordinátatengely irányának a megfordítását jelenti – is megengedjük, akkor két eset lehetséges. Ha a vektor iránya ellentétesre vált, akkor a mennyiség valódi vektor vagy egyszerűen vektor, ha nem, akkor pedig axiálvektor

Példák

Lásd még

Jegyzetek

  1. Ez ugyanakkor a fogalom elmélyítését már jelentősen megnehezítheti!
  2. Konkrétan megadható a pár alapján bármely pont képének a szerkesztése.
  3. Fontos feltétel, hogy test legyen, ellenkező esetben a feltételeink "elromlanak".
  4. Belső művelet alatt azt értjük, hogy a szorzat tényezői mind a vektortérből erednek.

Források