Vektor

A vektor a matematikában használatos fogalom, a lineáris algebra egyik alapvető jelentőségű mennyisége. Általában az ember a vektorokkal mint irányított szakaszokkal szokott találkozni, de a matematikában a jelentése ennél lényegesen bőségesebb.

Általános leírás

A vektor a matematikában egy felettébb fontos fogalom. Alkalmazásai rendkívül sokrétűek, a geometriától az absztrakt analízisig mindenhol lehet velük találkozni. Ennek megfelelően az értelmezése is többféleképpen történhet.

Maguk a vektorok a számok egyfajta általánosításainak is tekinthetőek. Ezzel a megközelítéssel főleg az algebrai definíciók dolgoznak, és ekkor legjellemzőbb alkalmazásaik az egyenletrendszerek kezelése.

Mivel a fogalom eredete a fizika, ezért fizikai és geometriai meggondolások is szolgálhatnak alapjául, ekkor főleg a viselkedésük lesz a definíció alapja. A legközkeletűbb értelmezése a fogalomnak is geometriai: olyan szakasz, amit a nagyságán túl az iránya is jellemez. Ez szinte tipizálja a fogalmat, hiszen így olyan mennyiségeket, mint a sebesség vagy az erő, kényelmesen szemléletessé tudunk tenni.

A vektorok legáltalánosabb, és így legmélyebb definícióját az analízisben találjuk, ahol a vektorok egy bizonyos típusú halmazhoz rendelhető másik halmaz elemei. Ez felettes értelmezése a fenti két definíciónak, hiszen mindkettőt magába foglalja.

Definíció

Lineáris algebra

Legyen ${\mathcal {E}}$ euklideszi geometriai tér. Ekkor a ${\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}$ halmaz elemeit, mint rendezett párokat irányított szakasznak nevezzük. Tekintsük most a térben a párhuzamos eltolásokat. Ezek segítségével ${\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}$ felett egy ekvivalenciarelációt határozhatunk meg.

Két pontpárt, $(A,B)$-t és $(C,D)$-t ekvivalensnek tekintünk, ha van olyan $p$ párhuzamos eltolás, hogy $p(A)=C$ és $p(B)=D$.

Az ekvivalenciarelációk a halmazt faktorhalmazokra bontják. Az ${\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}$ felett az előbbiekben bevezetett ekvivalenciareláció faktorhalmazait szabadvektoroknak, a faktorhalmazok elemeit a szabadvektor reprezentánsainak nevezzük.

Geometria

A geometriában a vektorok az eltolások, mint transzformációk meghatározásában játszanak szerepet. Legyen ugyanis $\alpha$ és $\beta$ két párhuzamos sík. Ha a távolságuk $d\neq 0$, akkor a tér bármely $X$ pontjához olyan módon rendel hozzá egy $X'$ pontot, hogy $|XX'|=2d$. Ezen túl az $X$ és $Y$ pontok képe olyan, hogy $XX'||YY'$ és egyező irányításúak. Ezt a leképezést eltolásnak nevezzük.

Világos, hogy az eltoláshoz elegendő az $(X,X')$ pontpárt megadni, mivel ez bármely pontnak a képét megadja a fentebbiek szerint. Az $(X,X')$ párt ekkor vektornak nevezzük. Eszerint egyébként a konkrét síkokra nincs is szükség, kizárólag a távolságuk és fekvésük lényeges.

A fentebbiek során a lineáris algebrai definíció szerinti osztályozást is megvalósítottuk, tehát itt is lehet beszélni az adott irányítású és hosszúságú vektorok ekvivalenciaosztályáról, amit ez alapján szabadvektornak nevezünk. Ha rögzítünk egy $O$ pontot, akkor a szabadvektorok azon reprezentánsait, amik kezdőpontja $O$, kötött vektoroknak nevezzük. Ezek például egy koordinátarendszer pontjait határozhatják meg.

Analízis

Legyen $T$ test, $H$ pedig halmaz. Ha értelmezünk két függvényt:

$+:H\times H\rightarrow H$, amit általában összeadásnak nevezünk, és

$.:T\times H\rightarrow H$, amit leggyakrabban skaláris szorzat néven emlegetünk,

úgy, hogy a + asszociatív, kommutatív, invertálható és van neutrális eleme, valamint $\forall \alpha ,\beta \in T$ és $\forall x,y\in H$ esetén

• $\alpha .(\beta .x)=(\alpha \cdot \beta ).x$
• $(\alpha +\beta ).x=\alpha .x+\beta .x$
• $\alpha .(x+y)=\alpha .x+\alpha .y$
• $1.x=x$

teljesül, akkor $H$-t a $T$ test feletti vektortérnek nevezzük, $H$ elemeit pedig vektoroknak.

Mint látható, az analitikus definíció olyan mértékben absztrakt, hogy egészen furcsa halmazokat is tudunk vektortérként kezelni. Ilyen lehet például a $T$-ben haladó konvergens sorozatok halmaza, vagy a $H\rightarrow T$ függvények halmaza.

Vektorműveletek

Két vektor összege rajzban a paralelogramma-szabály szerint képezhető

A vektortérben két művelet – az összeadás és a skalárral való szorzás – értelmezett. A vektorok kivonása ezek kombinációjával helyettesíthető: a-b = a+(-1.b). A geometriai vektorok speciális vektorok és speciális geometriai objektumok. Értelmezhető két ilyen vektor szorzata, ami nem általános vektorművelet (például két erő szorzata nem értelmes). A sík vagy térvektorok skaláris szorzata: a.b = skalár, viszont két térvektor vektoriális szorzata: a×b = vektor és ez a művelet síkban nem is értelmezhető. A térben három vektor vegyes szorzata: (a×b).c e két művelet kombinációja, s eredménye skalár. Mind az alapműveleteket, mind e specifikus operációkat értelmezni lehet a sík- ill. a térbeli analitikus geometriában is. Ebben a modellben a geometriai szerkesztéseket számítási eljárások helyettesítik: vektorkalkulus. A geometriai problémák megoldásában a vektoranalízis, a differenciálgeometria szintén sok, elemi úton nehezebben bizonyítható összefüggés, körülményesebben kivitelezhető szerkesztés megoldásában nyújt segítséget.

A fizikában

A fizikában vektornak nevezzük az olyan mennyiségeket, amelyek a koordináta-rendszer elforgatásakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a koordinátavektor (ld. a matematikai vektor fogalmát). Ez kiterjesztése a matematikai fogalomnak, mert a fizikában nemcsak számmal, hanem mértékegységgel is jellemezzük a mennyiségeket, ezért mondjuk a hármas helykoordináta-rendszerben szigorúan véve nem tudjuk az impulzust ábrázolni, csak az irányát, a hossza tulajdonképpen önkényes. Az impulzus az impulzustérben ábrázolható. A két koordináta-rendszert el tudjuk viszont szimultán forgatni úgy, hogy a forgatást ugyanazok az Euler-szögek jellemezzék. Ha a koordináta-rendszer elforgatásakor egy másik fizikai mennyiség ilyen értelemben ugyanúgy transzformálódik, akkor az illető mennyiséget fizikai vektormennyiségnek nevezzük.

Ha a koordináta-rendszer tükrözését – ami mindegyik koordinátatengely irányának a megfordítását jelenti – is megengedjük, akkor két eset lehetséges. Ha a vektor iránya ellentétesre vált, akkor a mennyiség valódi vektor vagy egyszerűen vektor, ha nem, akkor pedig axiálvektor

Példák

• Vektor a térbeli koordináta, impulzus, sebesség, elektromos térerősség stb.
• Axiálvektor az impulzusmomentum, mágneses indukció stb.

Lásd még

• skalár, pszeudoskalár
• tenzor, pszeudotenzor
• Lorentz-vektor, négyesvektor

Források

• Weisstein, Eric W.: Vektor (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Sulinetes anyag a vektorokról
• Magyarított, letölthető interaktív Flash szimuláció síkvektorok összeadásáról a PhET-től. Grafikus megjelenítés mellett a polár- és derékszögű koordinátákat is megadja.
• Magyarított Flash szimuláció a derékszögű koordináták és a megfelelő egységvektorok kapcsolatáról. Szerző: David M. Harrison