„Vektor” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Elírás javítása.
Címkék: Mobilról szerkesztett Mobil web szerkesztés Haladó mobilszerkesztés
Nincs szerkesztési összefoglaló
3. sor: 3. sor:


A '''vektor''' – történeti szempontból – a [[Vektortér|vektorteret]] felépítő alap elem, a [[Matematika|matematikában]] olyan [[Tenzor|tenzor]], amely a [[Fizika|fizikában]] függ a [[Vonatkoztatási rendszer|vonatkoztatási rendszertől]], például az [[Eredő erő|eredő erőtől]].
A '''vektor''' – történeti szempontból – a [[Vektortér|vektorteret]] felépítő alap elem, a [[Matematika|matematikában]] olyan [[Tenzor|tenzor]], amely a [[Fizika|fizikában]] függ a [[Vonatkoztatási rendszer|vonatkoztatási rendszertől]], például az [[Eredő erő|eredő erőtől]].

,,Vektorok


Ismeretes, hogy a fizikában fontos szerepet játszanak a vektormennyiségek (pl. erő, sebesség stb.). Ezek meghatározásához nagyságukon kívül, irányukra is szükség van. Ábrázolásuk irányított szakaszok, vektorok segítségével történik. A vektorokkal való számolás, a geometriának ez a fontos és szemléletes módszere, a fizika szempontjából is nélkülözhetetlen."
Ismeretes, hogy a fizikában fontos szerepet játszanak a vektormennyiségek (pl. erő, sebesség stb.). Ezek meghatározásához nagyságukon kívül, irányukra is szükség van. Ábrázolásuk irányított szakaszok, vektorok segítségével történik. A vektorokkal való számolás, a geometriának ez a fontos és szemléletes módszere, a fizika szempontjából is nélkülözhetetlen."
11. sor: 9. sor:
==Általános leírás==
==Általános leírás==


A '''vektor''' a [[matematika]] fontos fogalma. Egy vektort egyértelműen meghatároz az iránya, állása és nagysága (abszolút-értéke). Ennek ellenére a vektort nem definiálhatjuk irányított szakaszként, mert egy vektornak nincsenek pontjai, vagy konkrét helye. Egy vektort végtelen számú irányított szakasz reprezentálhat. Egy irányított szakaszt ponthalmaznak tekintünk, ami kezdő és végponttal rendelkezik.
A vektor a [[matematika]] fontos fogalma. Egy vektort egyértelműen meghatároz az iránya, állása és nagysága (abszolút-értéke). Ennek ellenére a vektort nem definiálhatjuk irányított szakaszként, mert egy vektornak nincsenek pontjai, vagy konkrét helye. Egy vektort végtelen számú irányított szakasz reprezentálhat. Egy irányított szakaszt ponthalmaznak tekintünk, ami kezdő és végponttal rendelkezik.


A vektorok bevezetésére elsősorban fizikai problémák megoldása sarkallta a matematikusokat. Például az elmozdulás, erő, forgatónyomaték, vagy a térerősség (mágneses, elektromos, gravitációs stb.) vektorokkal leírható mennyiségek.
A vektorok bevezetésére elsősorban fizikai problémák megoldása sarkallta a matematikusokat. Például az elmozdulás, erő, forgatónyomaték, vagy a térerősség (mágneses, elektromos, gravitációs stb.) vektorokkal leírható mennyiségek.


A vektor '''nagysága''' a vektort reprezentáló irányított szakasz hossza. '''Állása''' a vektort reprezentáló irányított szakasznak egy önkényes választás alapján, előre meghatározott vonatkoztatási egyenessel bezárt szöge. '''Iránya''' megmutatja, hogy a vektort reprezentáló irányított szakasznak melyik a kezdő és végpontja.
A vektor nagysága a vektort reprezentáló irányított szakasz hossza. Állása a vektort reprezentáló irányított szakasznak egy önkényes választás alapján, előre meghatározott vonatkoztatási egyenessel bezárt szöge. Iránya megmutatja, hogy a vektort reprezentáló irányított szakasznak melyik a kezdő és végpontja.


Vektorok a ''[[vektortér]]nek'' nevezett halmaz elemei. E halmaz megadásához az elemeken kívül egy másik halmazt is meg kell jelölni, amelynek elemeit ''skalároknak'' nevezzük. A vektorokra ugyanis az egymás közötti műveleteken kívül vektor-skalár műveleteket is értelmezünk. Ezért a fenti példákban szereplő vektorok terét szabatosan ''valós számok feletti vektortérnek'' kell nevezni. A skalárokat ezekben az esetekben a valós számok képviselik.
Vektorok a ''[[vektortér]]nek'' nevezett halmaz elemei. E halmaz megadásához az elemeken kívül egy másik halmazt is meg kell jelölni, amelynek elemeit ''skalároknak'' nevezzük. A vektorokra ugyanis az egymás közötti műveleteken kívül vektor-skalár műveleteket is értelmezünk. Ezért a fenti példákban szereplő vektorok terét szabatosan ''valós számok feletti vektortérnek'' kell nevezni. A skalárokat ezekben az esetekben a valós számok képviselik.
21. sor: 19. sor:
== Részletezés ==
== Részletezés ==


A vektorok '''V''' halmazában értelmezett ''egyetlen'' művelet az ''összeadás,'' amelyről megköveteljük, hogy [[asszociatív]] és [[kommutatív]] legyen, továbbá, hogy legyen a halmazban [[neutrális elem]] – '''nullvektor''' – és minden elemnek legyen [[inverz]]e – '''ellentett vektor'''. Az ilyen halmazt '''[[Abel-csoport|kommutatív csoportnak]]''' nevezik. A skalárok '''S''' halmaza ún. '''kommutatív test''', amelynek elemei között a valós számok körében értelmezett műveletek (összeadás és szorzás) értelmezve vannak, s azok ismert tulajdonságaival rendelkeznek: kommutatív, asszociatív mindkettő, disztributív az összeadás a szorzásra nézve, van egység- és null-elem, továbbá additív és multiplikatív inverz (a nulla kivételével). A két halmazt összekapcsolja egy „[[Művelet#Külső művelet|külső művelet]]”, a '''vektornak skalárral való szorzása'''. E művelet eredménye szintén vektor. Megköveteljük, hogy e műveletre a következő szabályok legyenek érvényesek:
A vektorok V halmazában értelmezett ''egyetlen'' művelet az ''összeadás,'' amelyről megköveteljük, hogy [[asszociatív]] és [[kommutatív]] legyen, továbbá, hogy legyen a halmazban [[neutrális elem]] – nullvektor – és minden elemnek legyen [[inverz]]e – ellentett vektor. Az ilyen halmazt [[Abel-csoport|kommutatív csoportnak]] nevezik. A skalárok S halmaza ún. kommutatív test, amelynek elemei között a valós számok körében értelmezett műveletek (összeadás és szorzás) értelmezve vannak, s azok ismert tulajdonságaival rendelkeznek: kommutatív, asszociatív mindkettő, disztributív az összeadás a szorzásra nézve, van egység- és null-elem, továbbá additív és multiplikatív inverz (a nulla kivételével). A két halmazt összekapcsolja egy „[[Művelet#Külső művelet|külső művelet]]”, a vektornak skalárral való szorzása. E művelet eredménye szintén vektor. Megköveteljük, hogy e műveletre a következő szabályok legyenek érvényesek:


<!--VALAKI JAVÍTSA a képlet végén mínuszok, nincs az alfa és béta között hely!-->
<!--VALAKI JAVÍTSA a képlet végén mínuszok, nincs az alfa és béta között hely!-->
32. sor: 30. sor:
== A geometriában ==
== A geometriában ==


A legismertebb „geometriai” vektor az '''irányított szakaszok ekvivalencia osztálya'''. Két (több) azonos hosszúságú és irányítású szakasz ugyanannak az osztálynak (vektornak) a képviselője. Amikor az általuk képviselt osztályokkal műveletet végzünk (például két vektort összeadunk), a szerkesztéshez bármelyiküket használhatjuk: '''szabad vektorok'''.
A legismertebb „geometriai” vektor az irányított szakaszok ekvivalencia osztálya. Két (több) azonos hosszúságú és irányítású szakasz ugyanannak az osztálynak (vektornak) a képviselője. Amikor az általuk képviselt osztályokkal műveletet végzünk (például két vektort összeadunk), a szerkesztéshez bármelyiküket használhatjuk: szabad vektorok.


A koordináta rendszerben értelmezett '''helyvektorok''', azaz az origóból indított és a sík egy-egy pontjában végződő irányított szakaszok olyan halmazt alkotnak, ami rendelkezik a vektortér tulajdonságaival, ezek az ún. '''kötött vektorok'''.
A koordináta rendszerben értelmezett helyvektorok, azaz az origóból indított és a sík egy-egy pontjában végződő irányított szakaszok olyan halmazt alkotnak, ami rendelkezik a vektortér tulajdonságaival, ezek az ún. kötött vektorok.


Egy eltolást megadhatjuk egy vektorral vagy annak bármelyik képviselőjével (egyik irányított szakasszal). Ezért az eltolások halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: '''vektortér'''.
Egy eltolást megadhatjuk egy vektorral vagy annak bármelyik képviselőjével (egyik irányított szakasszal). Ezért az eltolások halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: vektortér.


E „geometriai” vektorok közös jellemzője a hosszúság és az irány. Az előbbit szokták a vektor [[abszolút érték]]ének is nevezni. Ezek a fogalmak sok más vektortérben is értelmezhetők. A rendezett szám n-eseknél például a komponensek négyzetösszege a vektor [[normája]], s ennek négyzetgyöke az abszolút értéke. Ugyanebben a vektortérben az irány már nem olyan szemléletes, mint például a síkbeli geometriai vektoroknál.
E „geometriai” vektorok közös jellemzője a hosszúság és az irány. Az előbbit szokták a vektor [[abszolút érték]]ének is nevezni. Ezek a fogalmak sok más vektortérben is értelmezhetők. A rendezett szám n-eseknél például a komponensek négyzetösszege a vektor [[normája]], s ennek négyzetgyöke az abszolút értéke. Ugyanebben a vektortérben az irány már nem olyan szemléletes, mint például a síkbeli geometriai vektoroknál.
45. sor: 43. sor:


[[Kép:Vector addition3.svg|thumbnail|200px|jobbra|Két vektor összege rajzban a paralelogramma-szabály szerint képezhető]]
[[Kép:Vector addition3.svg|thumbnail|200px|jobbra|Két vektor összege rajzban a paralelogramma-szabály szerint képezhető]]
A vektortérben két művelet – az összeadás és a skalárral való szorzás – értelmezett. A vektorok kivonása ezek kombinációjával helyettesíthető: '''a-b''' = '''a'''+(-1.'''b''').
A vektortérben két művelet – az összeadás és a skalárral való szorzás – értelmezett. A vektorok kivonása ezek kombinációjával helyettesíthető: a-b = a+(-1.b).
A geometriai vektorok speciális vektorok és speciális geometriai objektumok. Értelmezhető két ilyen vektor szorzata, ami nem általános vektorművelet (például két erő szorzata nem értelmes). A sík vagy térvektorok [[skaláris szorzat]]a: '''a.b''' = ''skalár,'' viszont két térvektor [[vektoriális szorzat]]a: '''a×b''' = ''vektor'' és ez a művelet síkban nem is értelmezhető. A térben három vektor [[vegyes szorzat]]a: ('''a'''×'''b''').'''c''' e két művelet kombinációja, s eredménye ''skalár.'' Mind az alapműveleteket, mind e specifikus operációkat értelmezni lehet a sík- ill. a térbeli analitikus geometriában is. Ebben a modellben a geometriai szerkesztéseket számítási eljárások helyettesítik: [[vektorkalkulus]]. A geometriai problémák megoldásában a [[vektoranalízis]], a [[differenciálgeometria]] szintén sok, elemi úton nehezebben bizonyítható összefüggés, körülményesebben kivitelezhető szerkesztés megoldásában nyújt segítséget.
A geometriai vektorok speciális vektorok és speciális geometriai objektumok. Értelmezhető két ilyen vektor szorzata, ami nem általános vektorművelet (például két erő szorzata nem értelmes). A sík vagy térvektorok [[skaláris szorzat]]a: a.b = ''skalár,'' viszont két térvektor [[vektoriális szorzat]]a: a×b = ''vektor'' és ez a művelet síkban nem is értelmezhető. A térben három vektor [[vegyes szorzat]]a: (a×b).c e két művelet kombinációja, s eredménye ''skalár.'' Mind az alapműveleteket, mind e specifikus operációkat értelmezni lehet a sík- ill. a térbeli analitikus geometriában is. Ebben a modellben a geometriai szerkesztéseket számítási eljárások helyettesítik: [[vektorkalkulus]]. A geometriai problémák megoldásában a [[vektoranalízis]], a [[differenciálgeometria]] szintén sok, elemi úton nehezebben bizonyítható összefüggés, körülményesebben kivitelezhető szerkesztés megoldásában nyújt segítséget.


== A fizikában ==
== A fizikában ==


A fizikában vektornak nevezzük az olyan mennyiségeket, amelyek a koordináta-rendszer elforgatásakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a koordinátavektor (ld. a '''matematikai vektor''' fogalmát). Ez kiterjesztése a matematikai fogalomnak, mert a fizikában nemcsak számmal, hanem mértékegységgel is jellemezzük a mennyiségeket, ezért mondjuk a hármas helykoordináta-rendszerben szigorúan véve nem tudjuk az impulzust ábrázolni, csak az irányát, a hossza tulajdonképpen önkényes. Az impulzus az impulzustérben ábrázolható. A két koordináta-rendszert el tudjuk viszont szimultán forgatni úgy, hogy a forgatást ugyanazok az [[Euler-szögek]] jellemezzék. Ha a koordináta-rendszer elforgatásakor egy másik fizikai mennyiség ilyen értelemben ugyanúgy transzformálódik, akkor az illető mennyiséget fizikai '''vektormennyiségnek''' nevezzük.
A fizikában vektornak nevezzük az olyan mennyiségeket, amelyek a koordináta-rendszer elforgatásakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a koordinátavektor (ld. a matematikai vektor fogalmát). Ez kiterjesztése a matematikai fogalomnak, mert a fizikában nemcsak számmal, hanem mértékegységgel is jellemezzük a mennyiségeket, ezért mondjuk a hármas helykoordináta-rendszerben szigorúan véve nem tudjuk az impulzust ábrázolni, csak az irányát, a hossza tulajdonképpen önkényes. Az impulzus az impulzustérben ábrázolható. A két koordináta-rendszert el tudjuk viszont szimultán forgatni úgy, hogy a forgatást ugyanazok az [[Euler-szögek]] jellemezzék. Ha a koordináta-rendszer elforgatásakor egy másik fizikai mennyiség ilyen értelemben ugyanúgy transzformálódik, akkor az illető mennyiséget fizikai vektormennyiségnek nevezzük.


Ha a koordináta-rendszer tükrözését – ami mindegyik koordinátatengely irányának a megfordítását jelenti – is megengedjük, akkor két eset lehetséges. Ha a vektor iránya ellentétesre vált, akkor a mennyiség '''valódi vektor''' vagy egyszerűen '''vektor''', ha nem, akkor pedig '''axiálvektor
Ha a koordináta-rendszer tükrözését – ami mindegyik koordinátatengely irányának a megfordítását jelenti – is megengedjük, akkor két eset lehetséges. Ha a vektor iránya ellentétesre vált, akkor a mennyiség valódi vektor vagy egyszerűen vektor, ha nem, akkor pedig axiálvektor


=== Példák ===
=== Példák ===


* '''Vektor''' a [[térbeli koordináta]], [[impulzus]], [[sebesség]], [[elektromos térerősség]] stb.
* Vektor a [[térbeli koordináta]], [[impulzus]], [[sebesség]], [[elektromos térerősség]] stb.
* '''Axiálvektor''' az [[impulzusmomentum]], [[mágneses indukció]] stb.
* Axiálvektor az [[impulzusmomentum]], [[mágneses indukció]] stb.


=== Lásd még ===
=== Lásd még ===

A lap 2019. október 26., 19:41-kori változata

A vektor – történeti szempontból – a vektorteret felépítő alap elem, a matematikában olyan tenzor, amely a fizikában függ a vonatkoztatási rendszertől, például az eredő erőtől.

Ismeretes, hogy a fizikában fontos szerepet játszanak a vektormennyiségek (pl. erő, sebesség stb.). Ezek meghatározásához nagyságukon kívül, irányukra is szükség van. Ábrázolásuk irányított szakaszok, vektorok segítségével történik. A vektorokkal való számolás, a geometriának ez a fontos és szemléletes módszere, a fizika szempontjából is nélkülözhetetlen." (K-1405,) A kutúra világa, Matematika, Fizika, Kémia.

Általános leírás

A vektor a matematika fontos fogalma. Egy vektort egyértelműen meghatároz az iránya, állása és nagysága (abszolút-értéke). Ennek ellenére a vektort nem definiálhatjuk irányított szakaszként, mert egy vektornak nincsenek pontjai, vagy konkrét helye. Egy vektort végtelen számú irányított szakasz reprezentálhat. Egy irányított szakaszt ponthalmaznak tekintünk, ami kezdő és végponttal rendelkezik.

A vektorok bevezetésére elsősorban fizikai problémák megoldása sarkallta a matematikusokat. Például az elmozdulás, erő, forgatónyomaték, vagy a térerősség (mágneses, elektromos, gravitációs stb.) vektorokkal leírható mennyiségek.

A vektor nagysága a vektort reprezentáló irányított szakasz hossza. Állása a vektort reprezentáló irányított szakasznak egy önkényes választás alapján, előre meghatározott vonatkoztatási egyenessel bezárt szöge. Iránya megmutatja, hogy a vektort reprezentáló irányított szakasznak melyik a kezdő és végpontja.

Vektorok a vektortérnek nevezett halmaz elemei. E halmaz megadásához az elemeken kívül egy másik halmazt is meg kell jelölni, amelynek elemeit skalároknak nevezzük. A vektorokra ugyanis az egymás közötti műveleteken kívül vektor-skalár műveleteket is értelmezünk. Ezért a fenti példákban szereplő vektorok terét szabatosan valós számok feletti vektortérnek kell nevezni. A skalárokat ezekben az esetekben a valós számok képviselik.

Részletezés

A vektorok V halmazában értelmezett egyetlen művelet az összeadás, amelyről megköveteljük, hogy asszociatív és kommutatív legyen, továbbá, hogy legyen a halmazban neutrális elem – nullvektor – és minden elemnek legyen inverze – ellentett vektor. Az ilyen halmazt kommutatív csoportnak nevezik. A skalárok S halmaza ún. kommutatív test, amelynek elemei között a valós számok körében értelmezett műveletek (összeadás és szorzás) értelmezve vannak, s azok ismert tulajdonságaival rendelkeznek: kommutatív, asszociatív mindkettő, disztributív az összeadás a szorzásra nézve, van egység- és null-elem, továbbá additív és multiplikatív inverz (a nulla kivételével). A két halmazt összekapcsolja egy „külső művelet”, a vektornak skalárral való szorzása. E művelet eredménye szintén vektor. Megköveteljük, hogy e műveletre a következő szabályok legyenek érvényesek:

Ha , 1 skalárok és u, v vektorok, akkor

A geometriában

A legismertebb „geometriai” vektor az irányított szakaszok ekvivalencia osztálya. Két (több) azonos hosszúságú és irányítású szakasz ugyanannak az osztálynak (vektornak) a képviselője. Amikor az általuk képviselt osztályokkal műveletet végzünk (például két vektort összeadunk), a szerkesztéshez bármelyiküket használhatjuk: szabad vektorok.

A koordináta rendszerben értelmezett helyvektorok, azaz az origóból indított és a sík egy-egy pontjában végződő irányított szakaszok olyan halmazt alkotnak, ami rendelkezik a vektortér tulajdonságaival, ezek az ún. kötött vektorok.

Egy eltolást megadhatjuk egy vektorral vagy annak bármelyik képviselőjével (egyik irányított szakasszal). Ezért az eltolások halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: vektortér.

E „geometriai” vektorok közös jellemzője a hosszúság és az irány. Az előbbit szokták a vektor abszolút értékének is nevezni. Ezek a fogalmak sok más vektortérben is értelmezhetők. A rendezett szám n-eseknél például a komponensek négyzetösszege a vektor normája, s ennek négyzetgyöke az abszolút értéke. Ugyanebben a vektortérben az irány már nem olyan szemléletes, mint például a síkbeli geometriai vektoroknál.

A vektorral való eltolást -vel jelöljük.

Vektorműveletek

Két vektor összege rajzban a paralelogramma-szabály szerint képezhető

A vektortérben két művelet – az összeadás és a skalárral való szorzás – értelmezett. A vektorok kivonása ezek kombinációjával helyettesíthető: a-b = a+(-1.b). A geometriai vektorok speciális vektorok és speciális geometriai objektumok. Értelmezhető két ilyen vektor szorzata, ami nem általános vektorművelet (például két erő szorzata nem értelmes). A sík vagy térvektorok skaláris szorzata: a.b = skalár, viszont két térvektor vektoriális szorzata: a×b = vektor és ez a művelet síkban nem is értelmezhető. A térben három vektor vegyes szorzata: (a×b).c e két művelet kombinációja, s eredménye skalár. Mind az alapműveleteket, mind e specifikus operációkat értelmezni lehet a sík- ill. a térbeli analitikus geometriában is. Ebben a modellben a geometriai szerkesztéseket számítási eljárások helyettesítik: vektorkalkulus. A geometriai problémák megoldásában a vektoranalízis, a differenciálgeometria szintén sok, elemi úton nehezebben bizonyítható összefüggés, körülményesebben kivitelezhető szerkesztés megoldásában nyújt segítséget.

A fizikában

A fizikában vektornak nevezzük az olyan mennyiségeket, amelyek a koordináta-rendszer elforgatásakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a koordinátavektor (ld. a matematikai vektor fogalmát). Ez kiterjesztése a matematikai fogalomnak, mert a fizikában nemcsak számmal, hanem mértékegységgel is jellemezzük a mennyiségeket, ezért mondjuk a hármas helykoordináta-rendszerben szigorúan véve nem tudjuk az impulzust ábrázolni, csak az irányát, a hossza tulajdonképpen önkényes. Az impulzus az impulzustérben ábrázolható. A két koordináta-rendszert el tudjuk viszont szimultán forgatni úgy, hogy a forgatást ugyanazok az Euler-szögek jellemezzék. Ha a koordináta-rendszer elforgatásakor egy másik fizikai mennyiség ilyen értelemben ugyanúgy transzformálódik, akkor az illető mennyiséget fizikai vektormennyiségnek nevezzük.

Ha a koordináta-rendszer tükrözését – ami mindegyik koordinátatengely irányának a megfordítását jelenti – is megengedjük, akkor két eset lehetséges. Ha a vektor iránya ellentétesre vált, akkor a mennyiség valódi vektor vagy egyszerűen vektor, ha nem, akkor pedig axiálvektor

Példák

Lásd még

Források