„Lineáris leképezés” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Apró módosítás |
|||
11. sor: | 11. sor: | ||
* additivitás: <math>\mathcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)</math> |
* additivitás: <math>\mathcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)</math> |
||
* homogenitás: <math>\mathcal{A}(\lambda\mathbf{v})=\lambda\mathcal{A}(\mathbf{v})</math> |
* [[homogén függvény|homogenitás]]: <math>\mathcal{A}(\lambda\mathbf{v})=\lambda\mathcal{A}(\mathbf{v})</math> |
||
A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy <math>\mathcal{A}</math> megtartja a [[lineáris kombináció]]képzést, azaz minden ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, … , ''λ''<sub>''n''</sub> <math>\mathbb{T}</math>-beli elemre és ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, … , ''v''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' vektorra: |
A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy <math>\mathcal{A}</math> megtartja a [[lineáris kombináció]]képzést, azaz bármely ''n'' [[természetes szám]] esetén minden ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, … , ''λ''<sub>''n''</sub> <math>\mathbb{T}</math>-beli elemre és ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, … , ''v''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' vektorra: |
||
:<math>\mathcal{A}(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_n\mathbf{v}_n)=\lambda_1\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\lambda_2\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)+...+\lambda_n\mathcal{A}(\mathbf{v}_n)</math>. |
:<math>\mathcal{A}(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_n\mathbf{v}_n)=\lambda_1\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\lambda_2\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)+...+\lambda_n\mathcal{A}(\mathbf{v}_n)</math>. |
||
Ha ''V'' és ''U'' megegyezik, akkor '''lineáris transzformáció'''ról beszélünk. |
Ha ''V'' és ''U'' megegyezik, akkor '''lineáris transzformáció'''ról beszélünk. |
||
⚫ | Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> egy <math>\mathbb{T}</math> feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az <math>\mathcal{A}</math> leképezés <math>\mathbb{T}</math>-'''lineáris'''. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a <math>\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>, <math>z \mapsto \overline{z}\,</math> [[Komplex konjugált|konjugálás]] ugyan <math>\mathbb{R}</math>-lineáris, de nem <math>\mathbb{C}</math>-lineáris. |
||
⚫ | |||
A '''lineáris leképezés rangja''' a képterének [[dimenzió (lineáris algebra)|dimenziója]], azaz |
A '''lineáris leképezés rangja''' a képterének [[dimenzió (lineáris algebra)|dimenziója]], azaz |
||
:<math>\operatorname{Im}(\mathcal{A}) = \{\,\mathbf{w} \in U: \mathbf{w} = \mathcal{A}(\mathbf{v}), \mathbf{v} \in V\,\}</math> '''képtér''' esetén |
:<math>\operatorname{Im}(\mathcal{A}) := \{\,\mathbf{w} \in U: \mathbf{w} = \mathcal{A}(\mathbf{v}), \mathbf{v} \in V\,\}</math> módon definiált '''képtér''' esetén |
||
:<math>\operatorname{ |
:<math>\operatorname{rang}(\mathcal{A}) := \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(\mathcal{A}))</math>. |
||
== Jelölése== |
== Jelölése== |
||
Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy [[görög ábécé|görög betűvel]] jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet: |
Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy [[görög ábécé|görög betűvel]] jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet: |
||
: <math>\mathcal{O}</math>, <math>\underline{\underline{\mathcal{A}}}</math>, <math>\widehat{\mathcal{B}}</math>, <math>\widehat{\underline{\underline{C}}}</math>,<math>\varphi\,</math>, <math>\mathcal{A}\mathbf{v}</math> |
: <math>\mathcal{O}</math>, <math>\underline{\underline{\mathcal{A}}}</math>, <math>\widehat{\mathcal{B}}</math>, <math>\widehat{\underline{\underline{C}}}</math>,<math>\varphi\,</math>, <math>\mathcal{A}\mathbf{v}</math> |
||
⚫ | Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> egy <math>\mathbb{T}</math> feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az <math>\mathcal{A}</math> leképezés <math>\mathbb{T}</math>-'''lineáris'''. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a <math>\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>, <math>z \mapsto \overline{z}\,</math> [[Komplex konjugált|konjugálás]] ugyan <math>\mathbb{R}</math>-lineáris, de nem <math>\mathbb{C}</math>-lineáris. |
||
⚫ | |||
== Fajtái== |
== Fajtái== |
||
41. sor: | 41. sor: | ||
==Mátrixreprezentáció== |
==Mátrixreprezentáció== |
||
Véges dimenziós [[vektortér|vektorterek]] közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott [[Vektortér#Bázis|bázisától]]. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített ''A'' ''m''×''n''-es [[mátrix (matematika)|mátrix]] mellett bármely '' |
Véges dimenziós [[vektortér|vektorterek]] közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a lineáris leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott [[Vektortér#Bázis|bázisától]]. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített ''A'' ''m''×''n''-es [[mátrix (matematika)|mátrix]] mellett bármely ''v'' ''n''-elemű vektorhoz az ''A·v'' ''m''-elemű vektort rendeli. |
||
Ugyanakkor lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor a leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében). |
|||
===Előírhatósági tétel=== |
===Előírhatósági tétel=== |
||
50. sor: | 50. sor: | ||
akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz <math>\mathcal{A} = \mathcal{B}</math>. |
akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz <math>\mathcal{A} = \mathcal{B}</math>. |
||
Ez '''a lineáris leképezések előírhatósági tétele'''. Eszerint egy lineáris leképezést, ha ''n'' dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér ''n'' vektora egyértelműen meghatározza. |
Ez '''a lineáris leképezések előírhatósági tétele'''. Eszerint egy lineáris leképezést, ha ''n'' dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér ''n'' darab vektora egyértelműen meghatározza. |
||
===Leképezés mátrixa=== |
===Leképezés mátrixa=== |
||
76. sor: | 76. sor: | ||
* Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok. |
* Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok. |
||
* A hasonló mátrixok [[karakterisztikus polinom]]jai megegyeznek, és emiatt [[sajátérték]]eik is azonosak. |
* A hasonló mátrixok [[karakterisztikus polinom]]jai megegyeznek, és emiatt [[sajátérték]]eik is azonosak. |
||
* Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix [[rang (lineáris algebra)|rangjával]]. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok |
* Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix [[rang (lineáris algebra)|rangjával]]. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok rangjai megegyeznek. |
||
==Lineáris leképezések tere== |
==Lineáris leképezések tere== |
A lap 2019. augusztus 6., 04:37-kori változata
Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha
- két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
- egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.
Leggyakrabban a valós, a komplex vagy a kvaternió test feletti operátorokról van szó.
A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések, melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.
Definíciók
Legyen V és U a test feletti két vektortér. Az leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1 és v2 ∈ V vektorra, illetve minden λ ∈ elemre és v ∈ V vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:
- additivitás:
A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy megtartja a lineáris kombinációképzést, azaz bármely n természetes szám esetén minden λ1, λ2, … , λn -beli elemre és v1, v2, … , vn ∈ V vektorra:
- .
Ha V és U megegyezik, akkor lineáris transzformációról beszélünk.
Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy egy feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az leképezés -lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a , konjugálás ugyan -lineáris, de nem -lineáris.
A típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe mint egydimenziós vektortérbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.
A lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója, azaz
- módon definiált képtér esetén
- .
Jelölése
Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:
- , , , ,,
Fajtái
- Monomorfizmus: injektív lineáris homomorfizmus
- Epimorfizmus: szürjektív lineáris homomorfizmus
- Izomorfizmus: bijektív lineáris homomorfizmus
- Endomorfizmus: lineáris homomorfizmus
- Automorfizmus: bijektív lineáris homomorfizmus
Tulajdonságai
- Minden lineáris leképezés esetében az U-beli neutrális elem (ami vektorterek esetében a nullvektor) képe a V-beli neutrális elem, azaz ha , akkor . Ha U és V megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció fixpontja.
Mátrixreprezentáció
Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a lineáris leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott bázisától. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített A m×n-es mátrix mellett bármely v n-elemű vektorhoz az A·v m-elemű vektort rendeli.
Ugyanakkor lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor a leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).
Előírhatósági tétel
Ha és két V U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b1, b2, …, bn) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz
akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz .
Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér n darab vektora egyértelműen meghatározza.
Leképezés mátrixa
Az előírhatósági tétel értelmében rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a V bázisát alkotó vektorok képeinek koordinátamátrixa, melyen a következő m×n-es mátrixot értjük:
ahol B = (b1, b2, …, bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektorai mint m-elemű oszlopvektorok. Ha az U tér m-dimenziós, akkor a mátrix összesen m n darab (szám)adatot tartalmaz. Ha típusú, akkor csak -t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy négyzetes mátrix lesz. Ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a n-dimenziós vektortér (például ) bázisaként a különféle irányú egységvektorokból álló sztenderd bázisról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
A bázisok ilyetén jelölése mellett a képvektorok koordinátáit a következő egyszerű mátrixszorzással számíthatjuk ki:
Hasonló mátrixok
Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg.
Definiáljuk először a hasonlóság tulajdonságát: egy A n×n-es négyzetes mátrix hasonló egy B mátrixhoz (jelölésben: A ∼ B), ha létezik olyan invertálható P mátrix, amelyre
- .
Bizonyítható állítások:
- Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
- A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai megegyeznek, és emiatt sajátértékeik is azonosak.
- Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix rangjával. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok rangjai megegyeznek.
Lineáris leképezések tere
Az azonos test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(V, U)-val vagy Lin(V, U)-val jelölik, ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal.
A Hom(V, V) vektortér elemei (azaz a V V vektortér-automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak a kompozíció műveletével mint szorzással.
A V V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy csoportot alkotnak, a V-feletti általános lineáris csoportot (GL(V)).
Operátorműveletek és mátrixműveletek
A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek a mátrixaikkal is elvégezhetők.
- Invertálás. Injektív lineáris leképezés mátrixa reguláris, és fennáll:
- Összeadás
- Skalárszorzás
Dimenziótétel
Példák
Síkbeli lineáris transzformációk és felett a sztenderd bázishoz tartozó mátrixaik:
- identitás
- forgatás az origó körül
- 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
- tetszőleges θ szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban:
- 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
- tükrözés
- az x-tengelyre:
- az y-tengelyre:
- az x-tengelyre:
- kétszeres nagyítás:
- vízszintes nyírás:
- hiperbolikus forgatás:
- merőleges vetítés az y-tengelyre:
Nem lineáris transzformáció:
- eltolás (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel)