„Valószínűségi mező” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a elírás javítása + kiegészítő megjegyzés |
a + betűköz |
||
19. sor: | 19. sor: | ||
Az <math>\Omega</math> halmaz [[eseménytér]]. |
Az <math>\Omega</math> halmaz [[eseménytér]]. |
||
Az <math>\omega \in \Omega</math> elemeket kimeneteleknek, néha [[elemi esemény]]eknek nevezzük; bár elemi eseménynek inkább az ezeket egyetlen elemként tartalmazó halmazokat célszerű nevezni, hiszen <math>P</math>halmazokon értelmezett. |
Az <math>\omega \in \Omega</math> elemeket kimeneteleknek, néha [[elemi esemény]]eknek nevezzük; bár elemi eseménynek inkább az ezeket egyetlen elemként tartalmazó halmazokat célszerű nevezni, hiszen <math>P</math> halmazokon értelmezett. |
||
Az <math>\mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega)</math> <math>\scriptstyle \sigma</math>-algebra [[σ-algebra|eseményalgebra]]. |
Az <math>\mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega)</math> <math>\scriptstyle \sigma</math>-algebra [[σ-algebra|eseményalgebra]]. |
A lap 2019. március 11., 22:34-kori változata
A valószínűségi mező a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan folyamatokat (vagy "kísérleteket") modellez, amelyeknek köze van a véletlenhez.
Definíció
A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan mértéktér, ahol a teljes tér mértéke egy.
Legyen tetszőleges halmaz, σ-algebra és mérték, azaz
- ,
- minden halmaz esetén ,
- minden halmazsorozat esetén ,
- , és
- minden páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén ,
ha , akkor az mértékteret valószínűségi mezőnek nevezzük.
Ez a definíció azt is jelenti, hogy a valószínűség tisztán axiomatikus alapokon mérhető, és nemcsak empirikusan, ahogy azt von Mises leírta. Alapvető az alapgondolat, hogy a véletlen kísérlet összes kimenetét egymást kizáró eseményekként adják meg. Például egy szerencsekerék csak egy pozícióban állhat meg, ami egy adott null pozícióhoz képest mérhető. A mellékelt kép által mutatott példában csak az 1, 2, 3 számokhoz tartozó tartományokban állhat meg; egy mechanizmus akadályozza meg, hogy pont két szám határára essen (aminek egyébként is nulla a valószínűsége). Emiatt nem következhet be két elemi esemény, ezek diszjunktak. Ez alapozza meg az összeadási tétel kiterjesztését: Véges sok, egymást kölcsönösen kizáró esemény együttes valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összege.
Elnevezések
Az halmaz eseménytér.
Az elemeket kimeneteleknek, néha elemi eseményeknek nevezzük; bár elemi eseménynek inkább az ezeket egyetlen elemként tartalmazó halmazokat célszerű nevezni, hiszen halmazokon értelmezett.
Az -algebra eseményalgebra.
Az halmazok események.
Az esemény az esemény komplementere.
Az esemény biztos esemény, mert .
Az esemény lehetetlen esemény, mert .
A mérték valószínűség.
Példák
Példák diszkrét valószínűségi mezőre
Általánosabban, diszkrét valószínűségi mezőről van szó, ha az eseménytér véges vagy megszámlálhatóan végtelen, és eseményalgebrája a hatványhalmaz, vagyis . Ebben az esetben nincsen szükség a σ-algebra fogalmának bevezetésére, diszkrét valószínűségi mezőről beszélhetünk.[1]
Klasszikus valószínűségi mező
Legyen véges halmaz, és minden halmaz esetén . Ekkor az valószínűségi mezőt klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.
Akkor is beszélnek diszkrét valószínűségi mezőről, ha az eseménytér tetszőleges, de a valószínűségek mindig egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz elemeit veszik fel, azaz ennek a halmaznak 1 a valószínűsége.[2]
Bernoulli mező
Ha az alaphalmaz, a valószínűségek pedig , akkor Bernoulli-mezőrtől van szó.[3]
Poisson-eloszlásból származtatott
A természetes számok halmaza, mint eseménytér, azaz , minden természetes szám lehetséges kimenetel.
Az események ennek véges vagy megszámlálható végtelen részhalmazai.
Valószínűségi mérték lehet a Poisson-eloszlás. A szám valószínűsége , ahol pozitív paraméter.
Ezzel diszkrét valószínűségi tér.
Példák nem diszkrét valószínűségi mezőre
Geometriai valószínűségi mező
Legyen olyan Lebesgue mérhető halmaz, amelynek Lebesgue-mértéke véges, az halmaz Lebesgue mérhető részhalmazainak -algebrája és minden esemény esetén . Ekkor az valószínűségi mezőt geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük.
Exponenciális eloszlásból származtatott
Az eseménytér a nemnegatív számok halmaza.
Az események az Borel-részhalmazai, azaz . Ezzel minden nyílt, zárt, félig nyílt intervallum, ezek egyesítése, metszete és komplementere esemény.
Valószínűségi mérték lehet az exponenciális eloszlás, ami minden Borel-halmazhoz a
valószínűséget rendeli, ahol paraméter.
Ezzel valószínűségi mező.
További példák
- Indukált valószínűségi mező, ami egy valószínűségi változó képtere, ellátva a valószínűségi változó eloszlásával mint valószínűséggel.
- Teljes valószínűségi mező, teljes mértéktér a valószínűséggel mint mértékkel.
- Szorzattér
- Szűrt valószínűségi mező, valószínűségi mező szűrővel.
Kapcsolódó szócikkek
Jegyzetek
- ↑ Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5
- ↑ David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6
- ↑ Ehrhard Behrends. Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Wiesbaden: Springer Spektrum (2013). ISBN 978-3-8348-1939-0
Források
- V.V. Sazonov: Probability space
- Weisstein, Eric W.: Probability Space (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7
- Norbert Henze. Stochastik für Einsteiger., 10., Wiesbaden: Springer Spektrum (2013, isbn=978-3-658-03076-6,)
- Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6
- Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-21025-9
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.