„Erdős–Graham-sejtés” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Syp (vitalap | szerkesztései) Új oldal, tartalma: „A matematika, azon belül a kombinatorikus számelmélet területén az '''Erdős–Graham-probléma''' annak a sejtésnek a bizonyítása, mely szerint ha az e…” |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
A [[matematika]], azon belül a [[kombinatorikus számelmélet]] területén az '''Erdős–Graham-probléma''' annak a sejtésnek a bizonyítása, mely szerint ha az egynél nagyobb egészekből álló {2, 3, 4, ...} halmazt véges sok részhalmazra [[Osztályfelbontás|osztjuk fel]], akkor valamely részhalmaz felhasználható az 1 [[egyiptomi tört]] alakban való felírására. Más megfogalmazásban, minden ''r'' > 0 egészhez és az 1-nél nagyobb egész számok minden ''r''-színnel színezéséhez tartozik olyan egyszínű ''S'' részhalmaz, melyre igaz, hogy |
A [[matematika]], azon belül a [[kombinatorikus számelmélet]] területén az '''Erdős–Graham-probléma''' annak a sejtésnek a bizonyítása, mely szerint ha az egynél nagyobb egészekből álló {2, 3, 4, ...} halmazt véges sok részhalmazra [[Osztályfelbontás|osztjuk fel]], akkor valamely részhalmaz felhasználható az 1 [[Racionális számok#Egyiptomi törtek|egyiptomi tört]] alakban való felírására. Más megfogalmazásban, minden ''r'' > 0 egészhez és az 1-nél nagyobb egész számok minden ''r''-színnel színezéséhez tartozik olyan egyszínű ''S'' részhalmaz, melyre igaz, hogy |
||
:<math>\sum_{n\in S}\frac{1}{n} = 1.</math> |
:<math>\sum_{n\in S}\frac{1}{n} = 1.</math> |
||
A lap 2017. június 7., 09:00-kori változata
A matematika, azon belül a kombinatorikus számelmélet területén az Erdős–Graham-probléma annak a sejtésnek a bizonyítása, mely szerint ha az egynél nagyobb egészekből álló {2, 3, 4, ...} halmazt véges sok részhalmazra osztjuk fel, akkor valamely részhalmaz felhasználható az 1 egyiptomi tört alakban való felírására. Más megfogalmazásban, minden r > 0 egészhez és az 1-nél nagyobb egész számok minden r-színnel színezéséhez tartozik olyan egyszínű S részhalmaz, melyre igaz, hogy
Erdős Pál és Ronald Graham pontosabban azt állították, hogy elegendően nagy r-re az S legnagyobb tagja kisebb lehet, mint br valamely r-től független b konstansra. Ismert volt, hogy az állítás igaz voltához b-nek legalább e nagyságúnak kell lennie.
Ernie Croot Ph.D-dolgozatának keretében bizonyította a sejtést, és később közzé is tette az Annals of Mathematics szakfolyóiratban. A Croot bizonyításában szereplő, b-re megadott érték nagyon nagy: legfeljebb e167000. Croot eredménye egy általánosabb tétel folyománya, ami az egység egyiptomi tört-reprezentációinak [X, X1+δ] alakú intervallumokban lévő sima számok C halmazaiban való megtalálhatóságáról szól, ahol C elegendően nagy ahhoz, hogy reciprokaik összege legalább 6 legyen. Az Erdős–Graham-sejtés igazsága ebből az eredményből következik, megmutatva, hogy található olyan, a fenti formában felírt intervallum, ahol a sima számok reciprokösszege legalább 6r; tehát, ha az egészek r-színezhetők, léteznie kell olyan egyszínű C részhalmaznak, ami kielégíti Croot tételének feltételeit.
Kapcsolódó szócikkek
Jegyzetek
- Croot, Ernest S., III (2000), Unit Fractions, University of Georgia, Athens
- Croot, Ernest S., III (2003). „On a coloring conjecture about unit fractions”. Annals of Mathematics 157 (2), 545–556. o. DOI:10.4007/annals.2003.157.545.
- Old and new problems and results in combinatorial number theory, Monographies de L'Enseignement Mathématique [Monographs of L'Enseignement Mathématique]. Geneva: Université de Genève, L'Enseignement Mathématique, 30–44. o. (1980)