Tarski-féle T-séma

Definíció

Tekintsünk egy L elsőrendű formális nyelvet. Az a nyelv, amelyben vizsgálat tárgyává tesszük az L nyelvet, az M metanyelv. A metanyelv segítségével fogalmazzuk meg, hogy mit tekintünk L-ben értelmes mondatnak, axiómának, levezethető mondatnak, stb. A metanyelvnek mindent "kell tudnia" amit az L nyelv tud, ellenkező esetben nem lenne "magyarázó közeg" a formális nyelv számára. Ebben a kontextusban az L nyelvet tárgynyelvnek nevezzük. A tárgynyelv minden egyes S mondatának van egy metanyelvi P fordítása, mely úgy tekinthető, mint "az a kijelentés, amit S tartalmilag állít" . Továbbá az S mondatra, mint szimbólumsorra lehet hivatkozni a metanyelvben: az (S) metanyelvi kifejezés úgy tekinthető, mint az "a tárgynyelv S mondata" hivatkozás. Tarski mutatott egy módszert, mely segítségével definiálható a tárgynyelvi mondatok igazságának fogalma. (A definíció hozzávetőlegesen megegyezik azzal, amit a logikai szemantikában interpretáció szerinti igazságnak nevezünk, azzal a különbségel, hogy az interpretáció alaphalmazát a metanyelv objektumai alkotják.) Ekkor minden S tárgynyelvi mondat esetén a

Az (S) mondat akkor és csak akkor igaz, ha P

metanyelvi kijelentést az S tárgynyelvi mondat T-sémabeli alakjának nevezzük. A T-séma (Tarski igazságdefiníciójának következtében) minden esete tétele a metaelméletnek. Vegyük észre, hogy a T-séma nem más mint annak az arisztotelészi elvnek a formális nyelvre vonatkozó megfogalmazása, amely szerint "egy mondat pontosan akkor igaz, ha az, amit állít a valóságban is úgy van". Tarski a T-séma eseteinek fennállását tekintette az igazság helyes definíciója kritériumának.

Példa

Legyen L a német nyelv, mint tárgynyelv, M az angol, mint metanyelv, legyen továbbá az S mondat a következő: Die schnee ist weiß. Ekkor az S mondatot a T-sémába helyettesítve tételt kapunk:

A "The German sentence »Die schnee ist weiß« is true if and only if the snow is white." ekvivalencia tétele a metaelméletnek.

Néhány metatétel

Tétel - Tarski

• Ha a tárgynyelv tartalmazza a természetes számok végtelen struktúráját, akkor levezethető a T-séma egy esetének negációja, azaz létezik olyan S tárgynyelvi mondat, melyre a következő kijelentés metanyelvi tétel:

Az (S) mondat akkor és csak akkor igaz, ha nem P

• Ha eközben a tárgyelmélet ellentmondásmentes, akkor az igazság definíciója nem szerkeszthető meg.

Vegyük észre, hogy az első esetben megjelenő paradox jelentésű tétel nem más, mint a hazug paradoxona a formális nyelvben.

Tétel - Tarski

• Ha a tárgynyelv nem tartalmazza a természetes számok végtelen struktúráját, akkor a T-séma minden esete levezethető és az igazság fogalma ellentmondásmentes tárgyelmélet esetén is megszerkeszthető.

Ez pedig a hazug paradoxonának feloldása a legegyszerűbb tárgyelméletek esetén.

Messzemenő párhuzamot vélhetünk felfedezni Gödel első nemteljességi tételével. A negatív eredményt mindkét esetben a hazug paradoxonának antinómiaként való fellépése okozza.

Felhasznált irodalom

• Alfred Tarski: Bizonyítás és igazság, szerk.: Ruzsa Imre, Gondolat Kiadó, 1990