„Mechanikai munka” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Visszaállítottam a lapot a 85.186.5.51 változata (mentés ideje: 2016-08-19 11:07:08, oldid: 17845005) előtti változatra a Látszer segítségével
Címke: HTML-sortörés
Saját téves visszaállitásom javítva
1. sor: 1. sor:
{{nincs forrás}}
{{egyért2|a mechanikai munkáról|Munka (egyértelműsítő lap)}}
{{egyért2|a mechanikai munkáról|Munka (egyértelműsítő lap)}}
{{egyért0|A „Munka” egyéb fizikai jelentéseiről lásd: [[Elektromos munka]] és [[Termodinamikai munka]]}}
{{egyért0|A „Munka” egyéb fizikai jelentéseiről lásd: [[Elektromos munka]] és [[Termodinamikai munka]]}}


A '''mechanikai munka''' a fizika szűkebb területén (a [[kinetika (fizika)|kinetikában]]) értelmezett fizikai mennyiség, mely az [[Energia|energiaátadás]] egyik lehetséges formája.<ref name=":0">{{Cite book|title=Kísérleti fizika 1.|first=Péter|last=Vankó|url=http://fizipedia.bme.hu/images/e/e0/KisFiz1.pdf|format=PDF|accessdate=2016-08-19|year=2013}}</ref> Mechanikai munka végzésekor egy test [[Erő|erőhatások]] általi [[Gyorsulás|gyorsítása]] vagy lassítása történik, mely során a test energiája megváltozik. A [[Klasszikus fizika|klasszikus fizikában]] a kinetikus energiát egy adott mozgásállapot-változáshoz szükséges mechanikai munkából származtatják. Így e két mennyiség szorosan összefügg, sok jelenség értelmezésekor mindkettőt érdemes tárgyalni.
A '''mechanikai munka''' (szokásos jele: ''W'' vagy ''A''; ''work'' angol és az ''arbeit'' német ''munka'' szavakból) az az [[energia]]mennyiség, amely egy [[tömegpont|anyagi pontot]] (vagy [[merev test]]et) [[erő]] segítségével adott [[pálya (fizika)|távolságra]] elmozdít. SI mérték egysége a J (joule) .


Szokásos jele ''W'' az angol ''Work'' szóból, [[SI mértékegységrendszer|SI]] mértékegysége a [[Joule]].
Kiszámítása


== Fizikai értelmezése ==
A munkát állandó nagyságú és irányú erő esetén a következő képlettel lehet kiszámítani:
Legegyszerűbb esetben tekintsünk egy tömegpontot és egy rá ható állandó erőt. A munkát állandó nagyságú és irányú erő esetén a következő képlettel lehet kiszámítani:


: <math>W = \mathbf{F}\cdot \mathbf{s} = F \cdot s \cdot \cos \alpha</math>,
: <math>W = \mathbf{F}\cdot \mathbf{r} = F \cdot s \cdot \cos \alpha</math>,


ahol
ahol
* '''F''' az [[erő]],
* '''F''' az [[erő]],
* '''r''' az elmozdulás vektora,
* '''s''' a test által megtett [[Pálya (fizika)|út]],
* ''F'' és ''s'' az erő- és az elmozdulás(vektor) nagysága,
* ''F'' és ''s'' az erő- és az elmozdulásvektor nagysága,
* <math>\alpha</math> az erő és az elmozdulás iránya által bezárt szög. (A munka nagysága e két vektor [[skaláris szorzat]]a.)
* <math>\alpha</math> az erő és az elmozdulás iránya által bezárt szög.
A munka tehát az erő és az elmozdulás [[skaláris szorzat]]a.


Változó erő munkájának kifejezésekor ez az összefüggés lokálisan igaz marad, azaz egy elemi kis időtartam alatt végzett elemi munkamennyiség nagysága a fentiekhez hasonlóan:
Változó (nagyságú és/vagy irányú) erő munkáját úgy számítjuk ki, hogy az így befutott [[Pálya (fizika)|pályát]] olyan kis szakaszokra osztjuk, amelyeken az erő változatlannak vehető, és ezeken a kis szakaszok mindegyikén számítjuk ki a munkavégzést és végül összegezzük. Pontos eredményt az erő út menti integrálása adja:


: <math>W = \int\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}</math>.
: <math>dW = \mathbf{F} d\mathbf{r}</math>.


A tér 1. és 2. pontjai közötti makroszkopikus mozgás során a makroszkopikus munkát ezen kis elemi munkamennyiségek összegzésével kapjuk a teljes útra, azaz az erő [[Vonal menti integrál|vonal menti integrálja]] adja meg az elvégzett munka mennyiségét:
Ekvivalens ezzel a következő képlet, amennyiben ismertek a fizikai mennyiségek ''t'' időtől való függése - az elmozdulást okozó <math>\mathbf{F}</math> erő adott időintervallum alatt végzett munkája:


: <math>W_{12} = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\; \mathrm{d}t</math>,
: <math>W_{12} = \int\limits_1^2\mathbf{F}d\mathbf{r} = \int\limits_1^2\mathbf{F}\mathbf{v}dt</math>.

ahol
* '''F''' = '''F'''(''t'') az [[erő]],
* '''F''' = '''F'''(''t'') az [[erő]],
* '''v''' = '''v'''(''t'') az erő támadáspontjában lévő anyagi pont sebessége,
* '''v''' = '''v'''(''t'') az erő támadáspontjában lévő anyagi pont sebessége,
33. sor: 32. sor:
A munka [[skalár]]is mennyiség, értéke lehet pozitív is, negatív is.
A munka [[skalár]]is mennyiség, értéke lehet pozitív is, negatív is.


Nem minden erő végez munkát. Például a [[centripetális erő]] az [[körmozgás|egyenletes körmozgásban]] nem végez munkát; a mozgást végző test [[sebesség]]e állandó marad. Ezt be lehet bizonyítani a képletből: az erő [[vektor]]a merőleges az elmozdulásra, a [[skaláris szorzat]]uk nulla.
Nem minden erő végez munkát. Mivel a munka az erő és az elmozdulás skalárszorzata, így a munka akkor is lehet nulla, ha mind az erő, mind az elmozdulás különbözik nullától. Könnyű belátni, hogy ez akkor történik meg, ha az erő és az elmozdulás merőleges egymásra, azaz egymásra vett vetületük zérus. Például a [[centripetális erő]] az [[körmozgás|egyenletes körmozgásban]] nem végez munkát; a mozgást végző test [[sebesség]]e állandó marad. Ezt be lehet bizonyítani a képletből: az erő [[vektor]]a merőleges az elmozdulásra, a [[skaláris szorzat]]uk nulla.

== Mértékegység ==

Az [[SI mértékegységrendszer]]ben a munka mértékegysége a [[joule]], amely szerint 1 joule egyenlő azzal a munkával, ami egy testet egy [[Newton (mértékegység)|newton]] [[erő]] által 1 [[méter]] távolságra mozdít el.


== Egyszerűbb képletek ==
== Egyszerű összefüggések ==
[[Fájl:Munka.png|bélyegkép|jobbra|200px|Elemi munka]]
[[Fájl:Munka.png|bélyegkép|jobbra|200px|Elemi munka]]
A legegyszerűbb esetben a test ugyanabban az irányban mozog, a ráható erő párhuzamos a mozgás irányával, akkor
A legegyszerűbb esetben a test ugyanabban az irányban mozog, a ráható erő párhuzamos a mozgás irányával, akkor
46. sor: 41. sor:


ahol:
ahol:
* ''F'' a ráható erő
* ''F'' a rá ható erő
* ''s'' a test által megtett távolság
* ''s'' a test által megtett távolság


57. sor: 52. sor:
: <math>dW = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}</math>
: <math>dW = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}</math>


Az egyenlet kétoldali [[integrálás]]ából megkapjuk az általános (legelső) képletet.
Az egyenlet kétoldali [[Integrál|integrálásából]] megkapjuk az általános (legelső) képletet.


== Levezetés ==
== Munkatétel ==
<blockquote>
'''Állítás:'''
<br/>
A mechanikai munka '''(W)''' egyenlő a testre ható '''eredő''' [[erő]] '''(F)''' által megváltoztatott [[kinetikus energia]]változás '''(ΔKE)''' nagyságával.
</blockquote>


=== Állítás ===
=== Algebrával egydimenziós esetben ===
A testre ható [[erő|erők]] eredője által végzett munka megegyezik a [[kinetikus energia]] megváltozásával, azaz:
A következő bizonyításban állandó nagyságú [[erő]]hatást feltételezünk, és továbbá azt hogy '''(F)''' [[erő]] az eredő [[erő]].

Newton második törvényéből tudjuk, hogy ha egy testet időben állandó nagyságú '''(F)''' [[erő]]hatás ér, akkor az állandó '''(a)''' gyorsulást eredményez.
<math>W_e = \Delta E_k</math>.

Ez a tömegpontra értelmezett '''munkatétel'''. A továbbiakban ennek a bizonyítását tárgyaljuk két egyszerű esetben.

=== Bizonyítása egydimenziós eset ===
A következő bizonyításban állandó nagyságú [[erő]]hatást feltételezünk, és továbbá azt hogy '''(F)''' [[erő]] az eredő [[erő]]. Newton második törvényéből tudjuk, hogy ha egy testet időben állandó nagyságú '''(F)''' [[erő]]hatás ér, akkor az állandó '''(a)''' gyorsulást eredményez.
{{NumBlk|:|<math> F=ma \ \Rightarrow \ a = \frac{F}{m} </math>|1}}
{{NumBlk|:|<math> F=ma \ \Rightarrow \ a = \frac{F}{m} </math>|1}}


91. sor: 87. sor:
</math>|5}}
</math>|5}}


Tehát a [[kinetikus energia]] változása egyenlő a mechanikai munkával.
Tehát a [[Mozgási energia|kinetikus energia]] változása egyenlő a mechanikai munkával.
{{NumBlk|:|<math>
{{NumBlk|:|<math>
\Delta KE = KE_2 - KE_1 = W
\Delta E_k = E_{k,2} - E_{k,1} = W
</math>|6}}
</math>|6}}


=== Algebrával kétdimenziós esetben ===
=== Kétdimenziós esetben ===
Ez az eset csak nem sokban különbözik az egydimenziós esettől, csak szemléltetésként szeretném megmutatni, miként általánosítható az egydimenziós eset, kettő vagy akár több dimenzióra. Mivel két dimenzióval tárgyalunk, a [[vektor]]ok –mint '''(v)''' sebesség– két komponensel '''(x,y)''' rendelkeznek. Két dimenzió esetén a [[kinetikus energia]] a következő módon határozható meg:
Ez az eset csak nem sokban különbözik az egydimenziós esettől, csak szemléltetésként szeretném megmutatni, miként általánosítható az egydimenziós eset, kettő vagy akár több dimenzióra. Mivel két dimenzióval tárgyalunk, a [[vektor]]ok –mint '''(v)''' sebesség– két komponensel '''(x,y)''' rendelkeznek. Két dimenzió esetén a [[kinetikus energia]] a következő módon határozható meg:
{{NumBlk|:|<math>
{{NumBlk|:|<math>
KE = \frac{1}{2}m \vec{v^2} = \frac{1}{2}m (v_x^2 + v_y^2)
E_k = \frac{1}{2}m \mathbf{v}^2 = \frac{1}{2}m (v_x^2 + v_y^2)
</math>|1}}
</math>|1}}


Keressük meg azt a formulát ami megadja a [[kinetikus energia]] változásának ütemét. Ez pedig nem más mint a kinetikus energia idő szerinti első deriváltja.
Keressük meg azt a formulát ami megadja a [[kinetikus energia]] változásának ütemét. Ez pedig nem más mint a kinetikus energia idő szerinti első deriváltja.
{{NumBlk|:|<math>
{{NumBlk|:|<math>
\frac{\Delta KE}{ \Delta t } = \frac{m}{2} \left ( 2v_x \frac{dv_x}{dt} + 2v_y \frac{dv_y}{dt} \right )
\frac{\Delta E_k}{ \Delta t } = \frac{m}{2} \left ( 2v_x \frac{dv_x}{dt} + 2v_y \frac{dv_y}{dt} \right )
</math>|2}}
</math>|2}}


Átalakítva a képletet a következő alakot kapjuk:
Átalakítva a képletet a következő alakot kapjuk:
{{NumBlk|:|<math>
{{NumBlk|:|<math>
\frac{\Delta KE}{ \Delta t } = \left ( m \frac{dv_x}{dt} \right ) v_x + \left ( m \frac{dv_y}{dt} \right ) v_y
\frac{\Delta E_k}{ \Delta t } = \left ( m \frac{dv_x}{dt} \right ) v_x + \left ( m \frac{dv_y}{dt} \right ) v_y
</math>|3}}
</math>|3}}


Mivel <math> \frac{dv_x}{dt} </math> nem más mint a [[gyorsulás]]. A [[kinetikus energia]] változásának üteme tehát egyenlő az [[erő]] és a [[sebesség]] szorzatával, ami nem más mint a mechanikai [[teljesítmény]].
Mivel <math> \frac{dv_x}{dt} </math> nem más mint a [[gyorsulás]]. A [[kinetikus energia]] változásának üteme tehát egyenlő az [[erő]] és a [[sebesség]] szorzatával, ami nem más mint a mechanikai [[teljesítmény]].
{{NumBlk|:|<math>
{{NumBlk|:|<math>
\frac{\Delta KE}{ \Delta t } = F_x v_x + F_y v_y
\frac{\Delta E_k}{ \Delta t } = F_x v_x + F_y v_y
</math>|4}}
</math>|4}}


Mivel '''(v)''' [[sebesség]] nem más mint a pozíció idő szerinti első [[derivált]]ja azaz: <math>v_x = \frac{dx}{dt} </math> Megszorozva most mindkét oldalt az idővel, megkapjuk a megtett távolságot.
Mivel '''(v)''' [[sebesség]] nem más mint a pozíció idő szerinti első [[derivált]]ja azaz: <math>v_x = \frac{dx}{dt} </math> Megszorozva most mindkét oldalt az idővel, megkapjuk a megtett távolságot.
{{NumBlk|:|<math>
{{NumBlk|:|<math>
\Delta KE = F_x dx + F_y dy
\Delta E_k = F_x dx + F_y dy
</math>|5}}
</math>|5}}


Tehát a [[kinetikus energia]] változása egyenlő az eredő [[erő]] által végzett munkával
Tehát a [[kinetikus energia]] változása egyenlő az eredő [[erő]] által végzett munkával
{{NumBlk|:|<math>
{{NumBlk|:|<math>
\Delta KE = \Delta W
\Delta E_k = \Delta W
</math>|6}}Ha két [[vektor]] '''(x)''' komponenseit megszorozzuk, és összeadjuk a [[vektor]]ok '''(y)''' irányú komponenseinek összegével az nem más mint a két [[vektor]] skaláris szorzata amit <math>\vec{A} \cdot \vec{B}</math> vel szoktak jelölni.
</math>|6}}

----
A fenti levezetésben külön feltüntettem a [[sebesség]][[vektor]]ok komponenseit mert úgy vélem így érthetőbb a levezetés. Ha két [[vektor]] '''(x)''' komponenseit megszorozzuk, és összeadjuk a [[vektor]]ok '''(y)''' irányú komponenseinek összegével az nem más mint a két [[vektor]] skaláris szorzata amit <math>\vec{A} \cdot \vec{B}</math> vel szoktak jelölni.


<math>
<math>
141. sor: 134. sor:


ahol <math>\vec{r}</math> az elmozdulás [[vektor]]a.
ahol <math>\vec{r}</math> az elmozdulás [[vektor]]a.

== Egyéb munkaformák ==
A nem mechanikus munka formái, mint például az [[elektromos munka]], ennek az elvnek egy különleges esetét képezik: például az elektromosság esetében a munkát az elektromos tér végzi el a közegen áthaladó [[elektromos töltés|elektromosan töltött]] részecskéken - vagy az elektromos tér ellenében kell elvégezni a munkát más erőkkel a töltött részecskéken. (Továbbiakért lásd: [[munka (egyértelműsítő lap)|munka]].)


== További információk ==
== További információk ==
* {{CitLib|isbn=|szerző=Budó Ágoston|cím=Kísérleti Fizika I.|alcím=Mechanika, hangtan, hőtan|hely=Budapest|kiadás=Negyedik kiadás|kiadó=Tankönyvkiadó|év=1970}}
* [http://www.sulinet.hu/tovabbtan/felveteli/ttkuj/fizika/munka/munka.html Sulinet: Munka]
* [http://www.sulinet.hu/tovabbtan/felveteli/ttkuj/fizika/munka/munka.html Sulinet: Munka]
* [http://fizikaweb.uni-pannon.hu/fizika_content/Oktatas/Fizika_1_Mernoki_kar/Fizika_I-5_Munka_es_energia.ppt Pannon Egyetem Mérnöki Kar (Veszprém), Fizika I., 5. Munka és energia]
* [http://fizikaweb.uni-pannon.hu/fizika_content/Oktatas/Fizika_1_Mernoki_kar/Fizika_I-5_Munka_es_energia.ppt Pannon Egyetem Mérnöki Kar (Veszprém), Fizika I., 5. Munka és energia]
* 3. fejezet: Mechanikai munka in: [http://www.didactic.ro/files/4/mechanika.doc Kidolgozott fizikatételek az érettségire]
* 3. fejezet: Mechanikai munka in: [http://www.didactic.ro/files/4/mechanika.doc Kidolgozott fizikatételek az érettségire]


== Jegyzetek ==
{{Reflist}}
{{Portál|Fizika}}
[[Kategória:Energia]]
[[Kategória:Energia]]

A lap 2016. augusztus 30., 10:00-kori változata

A mechanikai munka a fizika szűkebb területén (a kinetikában) értelmezett fizikai mennyiség, mely az energiaátadás egyik lehetséges formája.[1] Mechanikai munka végzésekor egy test erőhatások általi gyorsítása vagy lassítása történik, mely során a test energiája megváltozik. A klasszikus fizikában a kinetikus energiát egy adott mozgásállapot-változáshoz szükséges mechanikai munkából származtatják. Így e két mennyiség szorosan összefügg, sok jelenség értelmezésekor mindkettőt érdemes tárgyalni.

Szokásos jele W az angol Work szóból, SI mértékegysége a Joule.

Fizikai értelmezése

Legegyszerűbb esetben tekintsünk egy tömegpontot és egy rá ható állandó erőt. A munkát állandó nagyságú és irányú erő esetén a következő képlettel lehet kiszámítani:

,

ahol

  • F az erő,
  • r az elmozdulás vektora,
  • F és s az erő- és az elmozdulásvektor nagysága,
  • az erő és az elmozdulás iránya által bezárt szög.

A munka tehát az erő és az elmozdulás skaláris szorzata.

Változó erő munkájának kifejezésekor ez az összefüggés lokálisan igaz marad, azaz egy elemi kis időtartam alatt végzett elemi munkamennyiség nagysága a fentiekhez hasonlóan:

.

A tér 1. és 2. pontjai közötti makroszkopikus mozgás során a makroszkopikus munkát ezen kis elemi munkamennyiségek összegzésével kapjuk a teljes útra, azaz az erő vonal menti integrálja adja meg az elvégzett munka mennyiségét:

.
  • F = F(t) az erő,
  • v = v(t) az erő támadáspontjában lévő anyagi pont sebessége,
  • a kezdő időpont és
  • a végső időpont.

A munka skaláris mennyiség, értéke lehet pozitív is, negatív is.

Nem minden erő végez munkát. Mivel a munka az erő és az elmozdulás skalárszorzata, így a munka akkor is lehet nulla, ha mind az erő, mind az elmozdulás különbözik nullától. Könnyű belátni, hogy ez akkor történik meg, ha az erő és az elmozdulás merőleges egymásra, azaz egymásra vett vetületük zérus. Például a centripetális erő az egyenletes körmozgásban nem végez munkát; a mozgást végző test sebessége állandó marad. Ezt be lehet bizonyítani a képletből: az erő vektora merőleges az elmozdulásra, a skaláris szorzatuk nulla.

Egyszerű összefüggések

Elemi munka

A legegyszerűbb esetben a test ugyanabban az irányban mozog, a ráható erő párhuzamos a mozgás irányával, akkor

ahol:

  • F a rá ható erő
  • s a test által megtett távolság

A munka negatív, amikor az erő ellentétes a mozgásiránnyal. Általánosítva, az erő és a távolság vektorként van kezelve, és a munka a kettejük skaláris szorzata:

Ez a képlet akkor is igaz, ha az erő egy bizonyos szögben hat a mozgásirányhoz képest. Ha tovább akarjuk általánosítani a képletet, azokban az esetekben, amikor az erő és a mozgásirány változik, differenciálegyenletet kell használnunk:

Az egyenlet kétoldali integrálásából megkapjuk az általános (legelső) képletet.

Munkatétel

Állítás

A testre ható erők eredője által végzett munka megegyezik a kinetikus energia megváltozásával, azaz:

.

Ez a tömegpontra értelmezett munkatétel. A továbbiakban ennek a bizonyítását tárgyaljuk két egyszerű esetben.

Bizonyítása egydimenziós eset

A következő bizonyításban állandó nagyságú erőhatást feltételezünk, és továbbá azt hogy (F) erő az eredő erő. Newton második törvényéből tudjuk, hogy ha egy testet időben állandó nagyságú (F) erőhatás ér, akkor az állandó (a) gyorsulást eredményez.

 

 

 

 

(1)

Ha egy test állandó gyorsulásnak van kitéve, akkor a test sebességének változását a következő kinematikai egyenlet adja meg:

 

 

 

 

(2)

Ahol (s) a megtett út hossza. Jelöljük a test kezdeti sebességét , és az erő megszűnte után, a test új, megváltozott sebességét alsóindexekkel.

 

 

 

 

(3)

A fenti egyenletet átrendezve a jobb oldalon izolálhatjuk az erőt, így az egyenletet a következő alakban írhatjuk fel.

 

 

 

 

(4)

Megkaptuk tehát a bal oldalon a végső és a kezdeti kinetikus energiákat, ezek különbsége pedig egyenlő az erő és a távolság szorzatával ami nem más mint a mechanikai munka (W) a jobb oldalon. A kinetikus energiákat a megszokott alakra írva:

 

 

 

 

(5)

Tehát a kinetikus energia változása egyenlő a mechanikai munkával.

 

 

 

 

(6)

Kétdimenziós esetben

Ez az eset csak nem sokban különbözik az egydimenziós esettől, csak szemléltetésként szeretném megmutatni, miként általánosítható az egydimenziós eset, kettő vagy akár több dimenzióra. Mivel két dimenzióval tárgyalunk, a vektorok –mint (v) sebesség– két komponensel (x,y) rendelkeznek. Két dimenzió esetén a kinetikus energia a következő módon határozható meg:

 

 

 

 

(1)

Keressük meg azt a formulát ami megadja a kinetikus energia változásának ütemét. Ez pedig nem más mint a kinetikus energia idő szerinti első deriváltja.

 

 

 

 

(2)

Átalakítva a képletet a következő alakot kapjuk:

 

 

 

 

(3)

Mivel nem más mint a gyorsulás. A kinetikus energia változásának üteme tehát egyenlő az erő és a sebesség szorzatával, ami nem más mint a mechanikai teljesítmény.

 

 

 

 

(4)

Mivel (v) sebesség nem más mint a pozíció idő szerinti első deriváltja azaz: Megszorozva most mindkét oldalt az idővel, megkapjuk a megtett távolságot.

 

 

 

 

(5)

Tehát a kinetikus energia változása egyenlő az eredő erő által végzett munkával

 

 

 

 

(6)

Ha két vektor (x) komponenseit megszorozzuk, és összeadjuk a vektorok (y) irányú komponenseinek összegével az nem más mint a két vektor skaláris szorzata amit vel szoktak jelölni.

Ezért a mechanikai munkát vektorjelölést használva gyakran integrál alakjában fejezzük ki:

ahol az elmozdulás vektora.

További információk

Jegyzetek

  1. Vankó, Péter. Kísérleti fizika 1. (PDF) (2013). Hozzáférés ideje: 2016. augusztus 19.