Mechanikai munka

A mechanikai munka egy fizikai mennyiség, mely az energiaátadás egyik lehetséges formája. Mechanikai munka végzésekor egy test erőhatások általi gyorsítása vagy lassítása történik, mely során a test energiája megváltozik. A klasszikus fizikában a kinetikus energiát egy adott mozgásállapot-változáshoz szükséges mechanikai munkából származtatják. Így e két mennyiség szorosan összefügg, sok jelenség értelmezésekor mindkettőt érdemes tárgyalni.

Szokásos jele W az angol work szóból, SI mértékegysége a Joule.

Fizikai értelmezése

Legegyszerűbb esetben tekintsünk egy tömegpontot és egy rá ható állandó erőt. A munkát állandó nagyságú és irányú erő esetén a következő képlettel lehet kiszámítani:

$W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} =F\cdot s\cdot \cos \alpha$,

ahol

• F az erő,
• r az elmozdulás vektora,
• F és s az erő- és az elmozdulásvektor nagysága,
• $\alpha$ az erő és az elmozdulás iránya által bezárt szög.

A munka tehát az erő és az elmozdulás skaláris szorzata.

Változó erő munkájának kifejezésekor ez az összefüggés lokálisan igaz marad, azaz egy elemi kis időtartam alatt végzett elemi munkamennyiség nagysága a fentiekhez hasonlóan:

$dW=\mathbf {F} d\mathbf {r}$.

A tér 1. és 2. pontjai közötti makroszkopikus mozgás során a makroszkopikus munkát ezen kis elemi munkamennyiségek összegzésével kapjuk a teljes útra, azaz az erő vonal menti integrálja adja meg az elvégzett munka mennyiségét:

$W_{12}=\int \limits _{1}^{2}\mathbf {F} d\mathbf {r} =\int \limits _{1}^{2}\mathbf {F} \mathbf {v} dt$.

• F = F(t) az erő,
• v = v(t) az erő támadáspontjában lévő anyagi pont sebessége,
• $t_{1}$ a kezdő időpont és
• $t_{2}$ a végső időpont.

A munka skaláris mennyiség, értéke lehet pozitív is, negatív is.

Nem minden erő végez munkát. Mivel a munka az erő és az elmozdulás skalárszorzata, így a munka akkor is lehet nulla, ha mind az erő, mind az elmozdulás különbözik nullától. Könnyű belátni, hogy ez akkor történik meg, ha az erő és az elmozdulás merőleges egymásra, azaz egymásra vett vetületük zérus. Például a centripetális erő az egyenletes körmozgásban nem végez munkát; a mozgást végző test sebessége állandó marad. Ezt be lehet bizonyítani a képletből: az erő vektora merőleges az elmozdulásra, a skaláris szorzatuk nulla.

Egyszerű összefüggések

Elemi munka

A legegyszerűbb esetben a test ugyanabban az irányban mozog, a ráható erő párhuzamos a mozgás irányával, akkor

$W=Fs\;$

ahol:

• F a rá ható erő
• s a test által megtett távolság

A munka negatív, amikor az erő ellentétes a mozgásiránnyal. Általánosítva, az erő és a távolság vektorként van kezelve, és a munka a kettejük skaláris szorzata:

$W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s}$

Ez a képlet akkor is igaz, ha az erő egy bizonyos szögben hat a mozgásirányhoz képest. Ha tovább akarjuk általánosítani a képletet, azokban az esetekben, amikor az erő és a mozgásirány változik, differenciálegyenletet kell használnunk:

$dW=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s}$

Az egyenlet kétoldali integrálásából megkapjuk az általános (legelső) képletet.

Munkatétel

Állítás

A testre ható erők eredője által végzett munka megegyezik a kinetikus energia megváltozásával, azaz:

$W_{e}=\Delta E_{k}$.

Ez a tömegpontra értelmezett munkatétel. A továbbiakban ennek a bizonyítását tárgyaljuk két egyszerű esetben.

Bizonyítása egydimenziós eset

A következő bizonyításban állandó nagyságú erőhatást feltételezünk, és továbbá azt hogy (F) erő az eredő erő. Newton második törvényéből tudjuk, hogy ha egy testet időben állandó nagyságú (F) erőhatás ér, akkor az állandó (a) gyorsulást eredményez.

$F=ma\ \Rightarrow \ a={\frac {F}{m}}$

(1)

Ha egy test állandó gyorsulásnak van kitéve, akkor a test sebességének változását a következő kinematikai egyenlet adja meg:

$v^{2}=v_{0}^{2}+2as\ \Rightarrow \ v^{2}=v_{0}^{2}+2{\frac {F}{m}}s$

(2)

Ahol (s) a megtett út hossza. Jelöljük a test kezdeti sebességét $v_{1}$, és az erő megszűnte után, a test új, megváltozott sebességét $v_{2}$ alsóindexekkel.

$v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2{\frac {F}{m}}s$

(3)

A fenti egyenletet átrendezve a jobb oldalon izolálhatjuk az erőt, így az egyenletet a következő alakban írhatjuk fel.

${\frac {m}{2}}v_{2}^{2}\ -\ {\frac {m}{2}}v_{1}^{2}=F\cdot s$

(4)

Megkaptuk tehát a bal oldalon a végső és a kezdeti kinetikus energiákat, ezek különbsége pedig egyenlő az erő és a távolság szorzatával ami nem más mint a mechanikai munka (W) a jobb oldalon. A kinetikus energiákat a megszokott alakra írva:

${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}\ -\ {\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=F\cdot s$

(5)

Tehát a kinetikus energia változása egyenlő a mechanikai munkával.

$\Delta E_{k}=E_{k,2}-E_{k,1}=W$

(6)

Kétdimenziós esetben

Ez az eset csak nem sokban különbözik az egydimenziós esettől, csak szemléltetésként szeretném megmutatni, miként általánosítható az egydimenziós eset, kettő vagy akár több dimenzióra. Mivel két dimenzióval tárgyalunk, a vektorok –mint (v) sebesség– két komponensel (x,y) rendelkeznek. Két dimenzió esetén a kinetikus energia a következő módon határozható meg:

$E_{k}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}={\frac {1}{2}}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})$

(1)

Keressük meg azt a formulát ami megadja a kinetikus energia változásának ütemét. Ez pedig nem más mint a kinetikus energia idő szerinti első deriváltja.

${\frac {\Delta E_{k}}{\Delta t}}={\frac {m}{2}}\left(2v_{x}{\frac {dv_{x}}{dt}}+2v_{y}{\frac {dv_{y}}{dt}}\right)$

(2)

Átalakítva a képletet a következő alakot kapjuk:

${\frac {\Delta E_{k}}{\Delta t}}=\left(m{\frac {dv_{x}}{dt}}\right)v_{x}+\left(m{\frac {dv_{y}}{dt}}\right)v_{y}$

(3)

Mivel ${\frac {dv_{x}}{dt}}$ nem más mint a gyorsulás. A kinetikus energia változásának üteme tehát egyenlő az erő és a sebesség szorzatával, ami nem más mint a mechanikai teljesítmény.

${\frac {\Delta E_{k}}{\Delta t}}=F_{x}v_{x}+F_{y}v_{y}$

(4)

Mivel (v) sebesség nem más mint a pozíció idő szerinti első deriváltja azaz: $v_{x}={\frac {dx}{dt}}$ Megszorozva most mindkét oldalt az idővel, megkapjuk a megtett távolságot.

$\Delta E_{k}=F_{x}dx+F_{y}dy$

(5)

Tehát a kinetikus energia változása egyenlő az eredő erő által végzett munkával

$\Delta E_{k}=\Delta W$

(6)

Ha két vektor (x) komponenseit megszorozzuk, és összeadjuk a vektorok (y) irányú komponenseinek összegével az nem más mint a két vektor skaláris szorzata amit ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}$ vel szoktak jelölni.

$A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}={\vec {A}}\cdot {\vec {B}}$

Ezért a mechanikai munkát vektorjelölést használva gyakran integrál alakjában fejezzük ki:

$\Delta W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}$

ahol ${\vec {r}}$ az elmozdulás vektora.

További információk

• Budó Ágoston: Kísérleti Fizika I: Mechanika, hangtan, hőtan. Negyedik kiadás. Budapest: Tankönyvkiadó. 1970.  
• Sulinet: Munka
• Pannon Egyetem Mérnöki Kar (Veszprém), Fizika I., 5. Munka és energia
• 3. fejezet: Mechanikai munka in: Kidolgozott fizikatételek az érettségire