Euler-függvény

A $\varphi (n)$ -nel jelölt Euler-függvény (vagy Euler-féle fí-függvény) a matematikában a számelmélet, különösen a moduláris számelmélet egyik igen fontos függvénye, egy egész számokon értelmezett egész értékű ún. számelméleti függvény.

Legelemibb meghatározása, hogy egy adott egész számhoz a nála kisebb relatív prím pozitív egész számok számát adja meg.

Formálisan:

$\varphi (n)=\left|\left\{k\in \mathbb {Z} \ |\ 0<k\leq n\ \wedge \ \left(n,k\right)=1\right\}\right|\ \ \ \left(n\in \mathbb {N} \right)$.

Egy másik, de fentivel teljességgel azonos függvényt adó értelmezésben e függvény az n-hez redukált maradékosztályok számát adja meg (ez gyakorlatilag ugyanaz, mint az előbbi definíció, elvontabban, a maradékaritmetika kifejezéseivel megfogalmazva).

Félig-meddig explicit (a számelmélet alaptételét használó) képlet is adható e függvény kiszámítására, ld. lentebb.

Az Euler-féle φ-függvény grafikonja

Értékei kis számokra

$n$ 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 $\phi (n)$ 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20

$n$ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 $\phi (n)$ 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20

$n$ 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 $\phi (n)$ 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70 24 72 36 40

$n$ 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 $\phi (n)$ 36 60 24 78 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40

Legfontosabb tulajdonságai

Multiplikativitás

Talán a legfontosabb tulajdonsága, hogy („gyengén”) multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán ugyanazt az értéket veszi fel, mint ami a két számon felvett értékének szorzata:

$\forall a,b\in \mathbb {Z} :\ \left(\ \ \left(a,b\right)=1\ \Rightarrow \ \varphi (ab)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)\ \right)$

Például:

• a=7 az prím szám, és $\varphi (7)=6$
• b=11 szintén prím, és $\varphi (11)=10$

(lásd az Értékei kis számokra c. táblázatot)

A két prímszám szorzata: $7\cdot 11=77$, valamint $\varphi (77)=60$, ami pontosan $6\cdot 10$.

Kiszámítása

• Viszonylag könnyű belátni a következőket:
  • Ha $n=p$ prímszám, akkor $\varphi (p)=p-1$ (mert éppen akkor prím egy p egész szám, ha minden nála kisebb pozitív szám relatív prím hozzá, különben lenne önmagánál kisebb prímosztója!) .
  • Ha $n=p^{\alpha }\ \ \ (\alpha \in \mathbb {Z} ^{+})$ prímhatvány, akkor $\varphi (p^{\alpha })=p^{\alpha }-p^{\alpha -1}=p^{\alpha }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$

• Általánosabb n-re a multiplikativitás és az előző kis tulajdonság alapján, a számelmélet alaptétele felhasználásával számítható ki;
• Bár talán még elemibb módszer, ha csak a szitaformulát használjuk. Ekkor az így kapott képletből is adódik a multiplikativitás (mindkét módszer persze ugyanazt a képletet eredményezi): ha $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{m}^{\alpha _{m}}=\prod _{i=1}^{m}{p_{i}^{\alpha _{i}}}$, $m\in \mathbb {N} ^{+},\ \forall i\in \left\{1,2,.,...,m\right\}:\left(\alpha _{i}\in \mathbb {N} ^{+}\right)$, és $p_{i}$ (páronként) különböző prímek, akkor érvényes

$\varphi (n)=n\cdot \prod _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right)}=$ $=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{m}^{\alpha _{m}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)...\left(1-{\frac {1}{p_{m}}}\right)$, feltéve hogy $\left(n>1\right)$

ahol tehát $m$ az $n$ szám különböző prímtényezőinek száma, $p_{i}$ pedig valamely prímtényezője. A képlet n=0,1-re nem alkalmazható, de mind az elemi, mind a formális definíció szerint φ(0)=0, φ(1)=1.

Például φ(10) = 10×(1-1/2)×(1-1/5) = 10×(1/2)×(4/5)=4; és valóban az 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 számok közt négy darab 10-hez relatív prím van: 1, 3, 7, és 9.

A Möbius-függvény segítségével ez

$\varphi (n)=n\sum _{d\vert n}{\frac {\mu (d)}{d}}$

alakban írható.

Az osztókra összeadva

$\sum _{d|n}\varphi (d)=n$

Ez bizonyítható az explicit formulából, de így is: vegyük az

${\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}},\dots ,{\frac {n}{n}}$

törteket. Ezek száma nyilván n. Írjuk mindegyiket egyszerűsített formában! Ekkor ezek a/d alakú törtek lesznek, ahol d osztója n-nek. Adott d-hez azok az a számlálók adódnak, amelyekkel egyszerűsített törtet alkot, azaz, ha $(a,d)=1$. Innen adódik a kívánt azonosság.

Összegfüggvénye

$\sum _{n=1}^{x}\varphi (n)={\frac {3}{\pi ^{2}}}x^{2}+O(x\log x)$

Egyéb

• Külföldön néha Euler's totient functionnak, azaz kb. „Euler annyiszoros-függvényének” nevezik, itt a totient szó a latin eredetű totiens (annyiszor(os), ahány) szóból származik, állítólag a quotiens („hányszoros”, azaz hányados, kvóciens) mintájára alkotta meg J. J. Sylvester 1879-ben: "The so-called φ function of any number I shall here and hereafter designate as its τ function and call its Totient." .
• Máig megoldatlan a következő probléma, a Carmichael-sejtés: „Az Euler-függvény minden értéket legalább két helyen vesz fel.”
• Néha a Gamma-függvényt is nevezik Euler-féle gammafüggvénynek.