„Négyzetgyök” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a kisebb javítások, hogy átláthatóbb legyen |
|||
32. sor: | 32. sor: | ||
=== Tulajdonságai === |
=== Tulajdonságai === |
||
* Mind [[Függvény (matematika)#Értelmezési tartomány|értelmezési tartomány]]a, mind [[Függvény (matematika)#Értékkészlet|értékkészlet]]e a nemnegatív valós számok halmaza: |
* Mind [[Függvény (matematika)#Értelmezési tartomány|értelmezési tartomány]]a, mind [[Függvény (matematika)#Értékkészlet|értékkészlet]]e a nemnegatív valós számok halmaza: |
||
:<math>D_f=R_f=\mathbb{R} |
:<math>D_f=R_f=\mathbb{R}_0^+</math> |
||
* Szigorúan monoton növekvő, azaz: |
* Szigorúan monoton növekvő, azaz: |
||
:<math>x_1 < x_2: \quad \sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}</math> |
:<math>x_1 < x_2: \quad \sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}</math> |
||
40. sor: | 40. sor: | ||
** Maximuma nincs |
** Maximuma nincs |
||
* Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve. |
* Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve. |
||
== Számolás négyzetgyökökkel == |
== Számolás négyzetgyökökkel == |
||
A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból: |
A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból: |
A lap 2016. május 11., 20:15-kori változata
A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). Az a szám négyzetgyökének jele:
A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen -nak és -nak ugyanúgy a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív.
A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:
A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük.
Definíció a valós számok halmazán
Ha a nemnegatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a:
A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.
A valós négyzetgyökfüggvény
Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek nevezzük:
A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán differenciálható, deriváltja
.
Nullában ellenben nincs deriváltja; a grafikon érintője itt függőleges.
Értelmezési tartományának minden zárt intervallumán Riemann-integrálható, és egy primitív függvénye
.
Tulajdonságai
- Mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza:
- Szigorúan monoton növekvő, azaz:
- Zérushelye: x=0
- Szélsőérték:
- Minimuma: x=0, f(x)=0
- Maximuma nincs
- Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve.
Számolás négyzetgyökökkel
A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból:
- , ha
- , ha
- , mivel a négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton nő.
- tetszőleges a valós számra.
- ellenben csak akkor teljesül, ha a nem negatív
A négyzetgyökvonással kapcsolatos problémák
- I.) Irracionális egyenletek:
Egyismeretlenes irracionális egyenleteknek nevezünk minden olyan algebrai egyenletet, ahol egyes algebrai kifejezések gyökjel alatt állnak.
- II.) Négyzetgyökvonás negatív valós számból:
Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A komplex számok két fő részből tevődnek össze: egy képzetes (imaginárius) számból és egy valós számból.
Komplex négyzetgyökfüggvény
A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív. Leszűkítéssel azonban injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől.
A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a
tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető.
Számítása
A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható.
Valós számok
Ha a szám nem írható fel két négyzetszám hányadosaként, akkor a négyzetgyöke irracionális még akkor is, ha a szám egész. Ennek kiszámítása azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíthető.
- Írásbeli gyökvonás: az írásbeli osztáshoz hasonló eljárás.
A szám jegyeit hátulról kezdve párokba osztja. Az első csoport adja a négyzetgyök első jegyét. A továbbiakban sorra figyelembe veszi a következő jegypárokat, és az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 azonosság alapján számol, ahol az a szám a már meglevő közelítés, és b a következő keresett számjegy.
- Intervallumok egymásba skatulyázása: könnyen érthető, de nehezen kivitelezhető módszer.
Példa: négyzetgyök kettő kiszámítása:
12 < 2 és 22 > 2 miatt az első jegy 1. 1,42 = 1,96 < 2 és 1,52 = 2,25 > 2, ezért a második jegy 4. Az eljárás hasonlóan folytatódik.
- Heron-eljárás vagy babilóniai módszer: a Newton-eljárás alkalmazása az x2 - a függvényre.
- A négyzetgyökfüggvény 1 körüli Taylor-sorba fejthető a binomiális tétel szerint. A sor minden | x | < 1-re konvergens:
- CORDIC-algoritmus a gépi számításokhoz
- Grafikus módszer: a Pitagorasz-tételen alapszik
Az x számot felmérjük a számegyenesre, és Thalész-kört szerkesztünk a [0,x] szakaszra. 1-ben merőlegest állítunk a számegyesre; ez négyzetgyök x hosszú szakaszt metsz ki a körívből.
Komplex számok
Ha a valós és a képzetes részével van megadva, akkor a négyzetgyök főértéke
ahol sgn(y) a szignumfüggvény.
Az egyetlen mellékág a .
A polárkoordinátákban adott négyzetgyökei így számíthatók:
ahol n = 0 vagy 1. A főérték az n = 0 esetnek felel meg.
Geometriailag, a négyzetgyökök abszolútértéke megegyezik az adott komplex szám abszolútértékének négyzetgyökével, és a főérték argumentuma az adott komplex szám argumentumának fele. A másik érték ennek a középpontosan szimmetrikus párja.
Egy z komplex szám argumentuma az (1,0,z) irányított szög.
Négyzetgyökök a maradékosztály-gyűrűkben
Ha egy n természetes számra akkor a négyzetgyökvonás definiálható modulo n. A valós és a komplex esethez hasonlóan a maradékosztály-gyűrűben is értelmes kérdés, hogy van-e olyan q maradékosztály, ami négyzetre emelve az x maradékosztályt adja:
Az x maradékosztály négyzetgyökei modulo n kiszámíthatók így:
- Prímtényezős alakba írjuk az n számot
- Megoldjuk a kongruenciát a felbontásban szereplő minden prímhatványra
- Összevetjük ezeket a megoldásokat a kínai maradéktétel szerint.
Prímszám modulus
A prímhatványokról a kongruencia visszavezethető több prím modulusú kongruencia megoldására.
Egy prím modulusra általában nincs minden maradékosztálynak négyzetgyöke. Például modulo 3 és x=2 esetén a kongruencia nem oldható meg, mert nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul. Ezért, ha p>2, akkor először ezt a kérdést kell megvizsgálnunk.
A kérdést az
Legendre-szimbólum segít eldönteni, amire:
- .
Ha x kvadratikus nemmaradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha x és p nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha x kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.
- p négyes maradéka három
Az x kvadratikus maradék két négyzetgyöke
- p négyes maradéka egy
Az x kvadratikus maradék négyzetgyöke így számítható:
Választunk egy r számot, hogy:
legyen.
Rekurzívan kiszámítjuk ezt a sorozatot:
- .
Ekkor az x kvadratikus maradék négyzetgyökei: