Kurt Gödel

Kurt Gödel (Brünn, Morvaország, Osztrák-magyar Monarchia., 1906. április 28. – Princeton, USA, 1978. január 14.) világhírű matematikus, logikus, tudományfilozófus.

Leghíresebb eredménye a nemteljességi tétel, ami azt állítja, hogy minden ellentmondásmentes rekurzívan felsorolható axiómarendszer, ami tartalmazza a természetes számok axiómarendszerét, nem teljes, azaz, vannak eldönthetetlen problémái. További nevezetes eredményei a teljességi tétel, ami szerint minden ellentmondásmentes elméletnek van modellje, valamint az, hogy a halmazelmélet axiómarendszereiben nem lehet megcáfolni sem a kiválasztási axiómát sem a kontinuumhipotézist.

Minden idők egyik legnagyobb logikusa volt. Amikor az amerikai Time hírmagazin 1999. március 29-én különszámot jelentetett meg a 20. század száz legfontosabb tudósáról, két matematikusról írtak cikket: egy hosszút Gödelről és egy rövidet Erdős Pálról.

Élete

Fájl:Kurt Gödel.jpg

Kurt Gödel

Gyermekkora

Az Osztrák-Magyar Monarchiához tartozó Brünnben (ma Csehországhoz tartozó Brno) született 1906. április 28-án.

Apja, Rudolf Gödel, egy textilgyár igazgatója, anyja Marianne Gödel (született Handschuh) volt. A német anyanyelvű családban a kis Gödelt, állandó érdeklődő kérdései miatt, Herr Warumnak hívták. Német nyelvű általános és középiskolába járt, ez utóbbit kitüntetéssel fejezte be 1923-ban. Eleinte a nyelvek, később a történelem és a matematika érdekelte.

Bécsi tanulmányai

18 évesen a bécsi egyetem hallgatója lett. Ekkor már kitűnően ismerte az egyetemi szintű matematika-tananyagot. Bár eredetileg elméleti fizikával akart foglalkozni, felvett matematikai és filozófiai kurzusokat is. Kant Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft című művét tanulmányozta, és résztvett a Bécsi Kör ülésein Moritz Schlick-kel, Hans Hahnnal és Rudolf Carnappal.

Ezután számelmélettel kezdett foglalkozni, majd miután résztvett Moritz Schlick egy szemináriumán, amin Bertrand Russell Introduction to mathematical philosophy című könyvét tanulmányozták, felébredt érdeklődése a matematikai logika iránt.

Ekkoriban találkozott későbbi feleségével, Adele Nimbursky-vel. Gödel ekkor már cikkeket publikált a logika témájából és Bolognaban meghallgatta Hilbert előadását a matematikai rendszerek teljességéről és konzisztenciájáról. 1929-ben osztrák állampolgár lett és Hans Hahn irányítása mellett elkészítette doktori értekezését. Disszertációja az elsőrendű logika teljességi tételét tartalmazta.

Bécsi tevékenysége

1930-ban megkapta a PhD fokozatot. Teljességi tételének némiképpen átalakított verzióját a Bécsi Tudományos Akadémia publikálta.

1931-ben publikálta nevezetes nemteljességi tételét Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme című cikkében. Ebben igazolta, hogy minden rekurzívan felsorolható axiómarendszer, ami tartalmazza az aritmetikát (mint például a Peano-axiómarendszer vagy a halmazelmélet Zermelo-Fraenkel axiómarendszere), ha ellentmondásmentes, akkor tartalmaz megoldhatatlan problémákat. Továbbá, mindig ilyen formula az adott rendszer ellentmondástalanságát állító formula.

Ez végső csapást mért a matematika axiomatizálásának Hilbert-féle programjára.

Tulajdonképpen a nemteljességi tétel bizonyításának kulcsgondolata az, hogy Gödel megadott egy formulát, ami pontosan akkor igaz, ha nem bizonyítható. Így, hacsak rendszerünk nem ellentmondásos, sem a formula, sem tagadása nem lehet bizonyítható.

Ennek precíz bizonyításához Gödel nehéz technikai fogalmakat vezetett be, mint a Gödel-számozás és bizonyíthatóság.

1932-ben habilitált és 1933-ban Privatdozent (fizetésnélküli előadó) lett a bécsi egyetemen.

Mivel nem különösebben érdekelte a politika, Hitler 1933-as németországi hatalomrajutása eleinte nem tett Gödelre különösebb hatást. Amikor azonban Schlicket egy nemzetiszocialista hallgató meggyilkolta, Gödel elszenvedte első idegösszeroppanását.

Látogatása az Egyesült Államokban

Ebben az évben látogatott először az Egyesült Államokba. Találkozott Einsteinnel, aki később legközelebbi barátja lett. Gödel előadást tartott az Amerikai Matematikai Társaság évi konferenciáján.

1934-ben előadássorozatot tartott az Institute for Advanced Study-ban (IAS) (Princeton) „Formális matematikai rendszerek eldönthetetlen problémáiról” címmel. Stephen Kleene jegyzetei nyomán az előadás később nyomtatott formában is megjelent. 1935 nyarán ismét ellátogatott az IAS-be. Az utazás és a megfeszített munka kimerítette, ezt követő depressziójából az egész következő évben lábadozott. 1937-ben kezdett el ismét dolgozni, ekkor bizonyította be a kontinuumhipotézis konzisztenciáját a konstruálható halmazok modelljének segítségével. 1938. szeptember 20-án összeházasodott Adele-lel. 1938 őszén ismét meglátogatta az IAS-t, 1939 tavaszán pedig a Notre Dame Egyetemet.

Princetoni évek

Ausztria 1938-ban, az Anschluss után a náci Németország része lett. Mivel Németországban megszűnt a Privatdozent cím, fenyegető veszéllyé vált, hogy Gödelt besorozzák. 1940 januárjában feleségével elhagyta Európát és a transz-szibériai expresszel Oroszországon majd Japánon keresztül megérkezett az USA-ba. San Fransiscoba érkeztek 1940. március 4-én, majd Princetonban telepedtek le, ahol Gödel ismét állást kapott az IAS-ben. Itt elsősorban filozófiával és fizikával foglalkozott: tanulmányozta Leibniz valamint Kant és Husserl műveit.

Az 1940-es évek végén megmutatta, hogy az Einstein-féle általános relativitáselmélet egyenleteinek létezik paradox megoldása. 1946-ban véglegesítették állását az IAS-ban, 1953-ban professzor lett. 1976-ban ment nyugdíjba. 1948-ban megkapta az amerikai állampolgárságot. 1951-ben (megosztva) megkapta az első Einstein-Díjat. 1974-ben megkapta a National Medal of Science-t.

A hetvenes években a mélyen vallásos Gödel barátainak megmutatott egy kéziratot, amiben Leibniz ontológiai istenbizonyítékát dolgozta ki.

Halála

Gödel csöndes, szerény, visszahúzódó személy volt. Paranoiás volt, gyakorlatilag csak a feleségében és Einsteinben bízott meg. Élete végén még gyanakvóbbá vált, attól tartott meg akarják mérgezni. Csak a feleségétől fogadott el ételt, ezért, amikor a feleségének egy kisebb operáció miatt kórházba kellett vonulnia, semmilyen ételt nem vett magához.

A koplalás következményeibe halt bele 1978. január 14-én, Princetonban.

Gödelről elnevezett intézmények

Az 1987-ben alapított Kurt Gödel Társaság az ő nevét vette fel. A társaság a logika, a filozófia és a matematika története kutatásának elősegítésével foglalkozó nemzetközi szervezet.

Gödelhez kötődik az az érdekes történet, amely szerint állampolgársági meghallgatása során, Einstein esküje ellenére arról tájékoztatta az eljáró bírót, miszerint felfedezte a diktatúra egyesült államokbeli bevezetésének törvényes módját. Az apró fiaskó ellenére a bíró, aki igen türelmes ember volt, megítélte Gödel részére az állampolgárságot.

Fontos publikációi

• Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 38 (1931).
• The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press, Princeton, NJ. (1940)

Könyvek

Könyvek Gödelről

• Dawson, John W. Logical dilemmas: The life and work of Kurt Gödel. A K Peters. (ISBN 1568810253)
• Depauli-Schimanovich, Werner, & Casti, John L. Gödel: A life of logic. Perseus. (ISBN 0738205184)
• Hintikka, Jaakko (2000). On Gödel. Wadsworth. (ISBN 0534575951)
• Wang, Hao (1996). A logical journey: From Gödel to philosophy. Cambridge, MA: MIT Press.
• Yourgrau, Palle (2004). A World Without Time: The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein. Basic Books. (ISBN 0465092934)

Könyvek Gödel matematikai eredményeiről

• Goldstein, Rebecca (2005). Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Godel (Great Discoveries). W. W. Norton & Company. (ISBN 0393051692)
• Douglas.Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: Egybefont gondolatok birodalma,(Ford. Lipovszki Gábor), Typotex, 777 oldal. (ISBN: 963 7546 99 5)
• Nagel, Ernst, & Newman, James R..Gödel's Proof. New York University Press. (ISBN 0-8147-5816-9)
• S.G. Shanker (szerk.) (1988). Gödel's Theorem, Routledge. (ISBN 070993357)

Külső hivatkozások

• A Time cikke Gödelről.
• A MacTutor Életrajzok lapja Gödelről
• Istenbizonyítás és modális logika (angol)
• W. W. Tait, Gödel’s correspondence on proof theory and constructive mathematics
• W. W. Tait, Gödel’s unpublished papers on foundations of mathematics