Abszolút konvergencia

A matematikában egy végtelen számsor abszolút konvergens, ha tagjainak abszolútértékét véve véges lesz az összeg. Képlettel, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ abszolút konvergens, ha van egy $\textstyle L$ valós szám, hogy $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L$. Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételesen konvergens.

Hasonlóan, egy f függvény $\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx$ improprius integrálja abszolút konvergens, ha az $\textstyle \int _{0}^{\infty }\left|f(x)\right|dx=L$ integrál konvergens.

Tanulmányozása azért fontos, mert egyrészt viszonylag gyakori, másrészt elég erős ahhoz, hogy olyan tulajdonságok is bizonyíthatók legyenek, amelyek más sorokra nem teljesülnek.

Háttere

Egy konvergens sor tagjai nemcsak valós vagy komplex számok lehetnek, hanem tetszőleges topologikus Abel-csoport elemei is. Az abszolút konvergencia ezen kívül megköveteli az abszolútérték általánosítását is, a normát. Itt a továbbiakban a csoportra additív jelölést használunk, így a G csoport egységeleme helyett nullelemről beszélünk, és 0-val jelöljük.

A normára teljesülnek a következők:

• G nullelemének normája 0: $\|0\|=0.$
• Minden x elemre $\|x\|=0$ implies $x=0.$
• Minden x elemre $\|-x\|=\|x\|.$
• Minden x, y elemre $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

Ekkor G a $d(x,y)=\|x-y\|$ távolsággal metrikus tér, és ebben értelmezhető az abszolút konvergencia: $\sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .$

Valós vagy kmplex számok esetén alkalmazható az abszolútérték, mint norma.

Kapcsolat a konvergenciával

Ha a fenti G teljes a fenti d metrikára, akkor az abszolút konvergens sorozatok konvergensek. Ezt általában is a komplex esethez hasonlóan lehet bizonyítani. A teljességből következik a Cauchy-konvergenciakritérium, és a háromszög-egyenlőtlenséget kell alkalmazni.

Speciálisan Banach-terekben az abszolút konvergenciából következik a konvergencia. Megfordítva, ha egy normált térben minden abszolút konvergens sorozat konvergens, akkor a tér Banach-tér.

Feltételesen konvergens sorozatra példa az alternáló harmonikus sorozat. Több konvergenciakritérium, mint a hányadoskritérium és a gyökkritérium, abszolút konvergenciát bizonyít. Ez azért van, mert a hatványsorok is abszolút konvergensek konvergencialemezükben.

Mivel egy komplex sor akkor és csak akkor konvergens, ha valós és képzetes része valós, ezért gondolhatunk a sor $a_{n}$ tagjaira, mint valós számokra. Tegyük fel, hogy $\sum |a_{n}|$ konvergens. Ekkor $2\sum |a_{n}|$ is konvergens.

Mivel $0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|$, azért

$0\leq \sum _{n=1}^{m}(a_{n}+|a_{n}|)\leq \sum _{n=1}^{m}2|a_{n}|\leq \sum _{n=1}^{\infty }2|a_{n}|$.

Így $\sum _{n=1}^{m}(a_{n}+|a_{n}|)$korlátos monoton sorozat (in m), ami konvergens.

$\sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|$ konvergens sorok különbsége; emiatt konvergens, ahogy kell.

Banach-terekben hasonló a bizonyítás:

Legyen X Banach-tér, ∑x_n abszolút konvergens X-ben. Mivel $\scriptstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|$ valós számok Cauchy-sorozata, azért minden ε > 0 valós számra és elég nagy m > n egész számokra

$\left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .$

A norma háromszög-egyenlőtlenségét felhasználva:

$\left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,$

az $\scriptstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}$ Cauchy X-ben, tehát konvergens is X-ben.

Átrendezés és feltétlen konvergencia

Általában különbséget kell tenni az abszolút és a feltétlen konvergencia között. A valós és a komplex számokra az abszolút konvergens sorozatok és a feltétlenül konvergens sorozatok ekvivalenciája külön tétel. Az alábbiakban ezt mutatjuk be részletesebben.

Adva legyen az $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ sor a normált G Abel-csoport elemeiből vett tagokkal, és legyen σ a természetes számok permutációja. Ekkor $\sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}$ ennek egy átrendezése. Egy sorozat feltétlenül konvergens, ha minden átrendezése ugyanahhoz a határértékhez tart, mint az eredeti.

Ha G teljes, akkor az abszolút konvergenciából következik a feltétlen konvergencia. Ennek megfordítása már érdekesebb. Valós sorozatokra, így komplex és véges dimenziós pontsorozatokra is Riemann átrendezési tételéből következik. Ez azonban már általánosabb esetekben nem igaz, hiszen az ℓ² Hilbert-térben van sorozat, ami nem abszolút konvergens, de feltétlenül konvergens. Példa:

$a_{n}={\tfrac {1}{n}}e_{n},$

ahol $\{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ortonormált bázis. A. Dvoretzky és C. A. Rogers tétele szerint a végtelen dimenziós Banach-terekben létezik nem abszolút konvergens, de feltételesen konvergens sor.

Minden ε > 0-hoz választhatunk $\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbf {N}$ számokat, hogy:

${\begin{aligned}\forall N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\\forall N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}$

Legyen

${\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}$

Végül minden $N>M_{\sigma ,\varepsilon }$-re legyen

${\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\end{aligned}}$

Ekkor

${\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

Eszerint

$\forall \varepsilon >0,\exists M_{\sigma ,\varepsilon },\forall N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,$

tehát:

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A$