„Formális hatványsor” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
aNincs szerkesztési összefoglaló
16. sor: 16. sor:


[[Kategória:Analízis]]
[[Kategória:Analízis]]
[[Kategória:Matematika]]
[[Kategória:Algebra]]
{{lektor}}
{{lektor}}

A lap 2005. július 1., 08:56-kori változata

Ha egy adott gyűrű feletti végtelen sorozatokon ahhoz hasonlóan értelmezünk két, összeadásnak és szorzásnak nevezett műveletet, ahogyan azt a végeredményben véges sorozatokként definiálható polinomok esetében tennénk, akkor jutunk az általánosabb formális hatványsor fogalmához. A definíció a következő:

Legyen tetszőleges gyűrű, és tekintsük az feletti végtelen sorozatok halmazát (megjegyzés, -vel a D halmazból a K halmazba képező függvények halmazát jelöljük általában is).

Értelmezünk ezek között, tehát felett két kétváltozós és műveletet a következőképp:

  •  ; ez tehát egyszerűen két végtelen hosszú vektor koordinátánkénti összegzése (+ az R gyűrűbeli összeadás);
  • A szorzás azonban nem koordinátánkénti szorzás, hanem: .

A algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az feletti formális hatványsorok gyűrűjének.

Polinom

Ha egy sorozatnak van olyan indexe (ti. olyan indexű tagja), melytől kezdve nulla (az összes nála nagyobb indexú tagja nulla), akkor az ilyen indexet (gyenge v. tágabb értelemben vett) eltűnési indexnek nevezünk. A sorozat eltűnési indexeinek halmazát -vel jelöljük (definiálható a szigorú eltűnési index is, ha ≤ helyett <-t írunk a definícióban). Nincs minden sorozatnak eltűnési indexe; azaz e halmaz üres is lehet bizonyos sorozatokra; ha azonban nem üres, akkor a sorozatot polinomnak nevezzük.

Pontosan egyetlen olyan sorozat van, melynek minden indexe eltűnési index, mégpedig az a sorozat, melynek minden tagja 0. E sorozat a nullpolinom.