„Maximum likelihood módszer” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
6. sor: | 6. sor: | ||
==Definíció== |
==Definíció== |
||
A maximum likelihood becslés azokban az esetekben használatos amikor az egyes mérési eredmények olyan véletlen eseményekként interpretálhatóak, amelyek egy vagy több ismeretlen paramétertől függenek. |
A maximum likelihood becslés azokban az esetekben használatos amikor az egyes mérési eredmények olyan véletlen eseményekként interpretálhatóak, amelyek egy vagy több ismeretlen paramétertől függenek. |
||
Mivel a vizsgált értékek kizárólagosan az ismeretlen paraméter(ek)től |
Mivel a vizsgált értékek kizárólagosan az ismeretlen paraméter(ek)től függenek, előállíthatók ezen paraméter vagy paraméterek függvényeként. A mérést, becslést végző kutató ezt a paramétert határozza meg, így maximalizálja a mért minta által követett valószínűséget. |
||
A maximum likelihood módszer egy <math>X</math> [[valószínűségi változó]]ból indul ki, amelynek a [[sűrűségfüggvény|sűrűség]]- vagy [[valószínűségi tömegfüggvény|tömegfüggvénye]] <math>f</math> és <math>q</math> paramétertől függ. |
A maximum likelihood módszer egy <math>X</math> [[valószínűségi változó]]ból indul ki, amelynek a [[sűrűségfüggvény|sűrűség]]- vagy [[valószínűségi tömegfüggvény|tömegfüggvénye]] <math>f</math> és <math>q</math> paramétertől függ. |
A lap 2015. január 6., 16:19-kori változata
A maximum likelihood módszer (magyarul: legnagyobb valószínűség) a matematikai statisztika egyik leggyakrabban használt becslési eljárása mérési eredmények, minták kiértékelésére.
A maximum likelihood módszer célja, hogy adott mérési értékekhez, az ismeretlen paramétereknek olyan becslését adja meg, amely mellett az adott érték a legnagyobb valószínűséggel következik be. Az eljárás a likelihood függvény maximalizálásával történik.
Definíció
A maximum likelihood becslés azokban az esetekben használatos amikor az egyes mérési eredmények olyan véletlen eseményekként interpretálhatóak, amelyek egy vagy több ismeretlen paramétertől függenek. Mivel a vizsgált értékek kizárólagosan az ismeretlen paraméter(ek)től függenek, előállíthatók ezen paraméter vagy paraméterek függvényeként. A mérést, becslést végző kutató ezt a paramétert határozza meg, így maximalizálja a mért minta által követett valószínűséget.
A maximum likelihood módszer egy valószínűségi változóból indul ki, amelynek a sűrűség- vagy tömegfüggvénye és paramétertől függ.
Véletlenszerű mintavételezéskor, független és azonos feltételek között végzett mintavétel esetén, a sűrűség- vagy tömegfüggvény a következő formula szerint faktorizálható:
Amíg rögzített paraméter esetén a sűrűségfüggvény tetszőleges értékkel határozható meg, fordítva járunk el, és rögzített értékekre a sűrűségfüggvényt mint a paraméter függvényét tekintjük. Ezt nevezzük likelihood-függvénynek:
A becslés a likelihood-függvény maximumának a megkeresése, azaz egy szélsőérték feladat. A számítások egyszerűsítése céljából a gyakorlatban nem az eredeti likelihood-függvényt használjuk, hanem annak a természetes alapú logaritmusát. Mivel a függvény szigorúan monoton növekvő függvény a szélsőérték helye nem változik és egy összeggel egyszerűbb számolni mint egy szorzattal. Ezt a függvényt gyakran nevezik loglikelihood függvénynek:
Példa
A normális eloszlás sűrűségfüggvénye várhatóértékkel és szórással a következő:
Tekintsük a független mérési eredményeket amelyek a feltételezés szerint ismeretlen várhatóértékkel és ismeretlen szórással normális eloszlást követnek. A következő likelihood függvénnyel kell számolnunk: .
a loglikelihood függvény pedig:
Források
- Jánossy, Lajos. A valószínűségelmélet alapjai és néhány alkalmazása, 1., Budapest: Tankönyvkiadó Vállalat, 206. o. (1965)
- Tómács, Tibor. Matematikai statisztika, 1., Eger: Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet, 133. o. (2012)