„Félcsoport” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2015. január 5., 23:48-kori változata

A matematikában az asszociatív grupoidokat félcsoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan egyműveletes $(S;*)$ algebrai struktúra, amelyben a $*$ binér művelet aszociatív. Ha a $*$ művelet kommutatív is, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Definíció

Legyen $(S;*)$ tetszőleges grupoid. Azt mondjuk, hogy $(S;*)$ félcsoport, ha a $*$ művelet asszociatív, azaz ha az $S$ un. alaphalmaz tetszőleges $a,b,c$ elemeire $a*(b*c)=(a*b)*c$ teljesül. Ha a $*$ művelet kommutatív is, azaz $a*b=b*a$ teljesül tetszőleges $a,b\in S$ elemekre, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Tetszőleges $(S;*)$ félcsoportban érvényes az általános asszociativitás törvénye, azaz a $*$ művelet eredménye nem függ a zárójelezéstől, csupán a vizsgált kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől. Kommutatív félcsoportban érvényes az általános kommutativitás törvénye, azaz a művelet eredménye nem csak a zárójelezéstől független, hanem a kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől is.

Egy $(S;*)$ félcsoport tetszőleges $a$ eleme esetén az $a*a$ elemet kétféleképpen szoktuk jelölni. Vagy (a számok összegének mintájára) $2a$ , vagy pedig (a számok szorzatának mintájára) $a^{2}$ módon. Ilyenkor azt is szoktuk mondani, hogy (az első esetben) additív írásmódot, illetve (a második esetben) multiplikatív írásmódot használunk, a művelet jeleként pedig az összeadás, illetve a szorzás jelét használjuk; multiplikatív írásmód esetén gyakran el is hagyjuk a szorzás jelét: $a\cdot b$ helyett $ab$ -t írunk. Additív írásmód esetén az $n$ -tagú $a+\cdots +a$ összeget $na$ , multiplikatív írásmód esetén az $n$ -tényezős $a\cdots a$ szorzatot $a^{n}$ módon jelöljük; itt $n$ pozitív egész szám. Egy félcsoport tetszőleges $a$ és $b$ elemeire és tetszőleges $n,m$ pozitív egészekre érvényesek az alábbiak.

Additív írásmód esetén:

$(n+m)a=na+ma,$
$(nm)a=n(ma)=m(na),$
Ha a félcsoport kommutatív, akkor $n(a+b)=na+nb.$

Multiplikatív írásmód esetén:

$a^{(n+m)}=a^{n}a^{m},$
$a^{(nm)}=(a^{n})^{m}=(a^{m})^{n},$
Ha a félcsoport kommutatív, akkor $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$

A továbbiakban multiplikatív írásmódot használunk, és a félcsoportokat csak az alaphalmazukkal jelöljük.

Részfélcsoport, ideál

Egy $S$ félcsoport részfélcsoportján az $S$ halmaz olyan nem üres $B$ részhalmazát értjük, amely maga is félcsoport az $S$ -beli műveletre nézve, azaz tetszőleges $b_{1},b_{2}\in B$ elemek esetén $b_{1}b_{2}\in B$ .

Egy $S$ félcsoport $B$ részfélcsoportját az $S$ egy bal (jobb) oldali ideáljának nevezzük, ha tetszőleges $s\in S$ és $b\in B$ elemekre $sb\in B$ ( $bs\in B$ ) teljesül. Ha $B$ az $S$ bal oldali és egyben jobb oldali ideálja is, akkor $B$ -ről azt mondjuk, hogy az $S$ egy ideálja. Minden $S$ félcsoportnak $S$ egy bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja). Ha $S$ -nek nincs önmagától különböző (azaz valódi) bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja), akkor az $S$ félcsoportot bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű) félcsoportnak nevezzük.

Kitüntetett elemek félcsoportban

Azt mondjuk, hogy egy $S$ félcsoport $e$ eleme a félcsoport bal (jobb) oldali egységeleme, ha tetszőleges $a\in S$ elemre $ea=a$ ( $ae=a$ ) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport egységelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali egységeleme is. Minden félcsoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Egy egységelemes félcsoportot monoidnak nevezünk.

Akkor mondjuk, hogy egy $e$ egységelemes $S$ félcsoport $b$ eleme egy $a\in S$ elem bal (jobb) oldali inverze, ha $ba=e$ ( $ab=e$ ). A $b$ elemet az $a$ elem inverzének nevezzük, ha $b$ az $a$ -nak bal oldali és egyben jobb oldali inverze is. Egy monoid minden elemének legfeljebb egy inverze van.

Egy olyan monoidot, amelyben minden elemnek van inverze csoportnak nevezünk.

Egy $S$ félcsoport $0$ eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport bal (jobb) oldali nulleleme, ha tetszőleges $a\in S$ elemre $0a=0$ ( $a0=0$ ) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport nullelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali nullelem is.

Egy félcsoport $e$ elemét idempotens elemnek nevezzük, ha $e^{2}=e$ . Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elemek. Kötegen olyan félcsoportot értünk, melynek minden eleme idempotens elem. Egy kommutatív köteget félhálónak nevezünk.

Egy $S$ félcsoport $a$ eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport reguláris eleme, ha van $S$ -nek olyan $x$ eleme, melyre $axa=a$ teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem reguláris félcsoportnak nevezünk.

Egy $S$ félcsoport $b$ eleméről azt mondjuk, hogy egy $a\in S$ elem Neumann-féle inverze, ha $aba=a$ és $bab=b$ . Világos, hogy ha $b$ Neumann-féle inverze $a$ -nak, akkor $a$ Neumann-féle inverze $b$ -nek (azaz $a$ és $b$ egymás Neumann-féle inverzei). Könnyen ellenőrizhető, hogy ha $a$ egy $S$ félcsoport reguláris eleme úgy, hogy $axa=a$ , akkor $a$ és $xax$ egymás Neumann-féle inverzei. Ha egy reguláris félcsoportban minden elemnek pontosan egy Neumann-féle inverze van, akkor a félcsoportot inverz félcsoportnak nevezzük.

Példák félcsoportokra

A természetes számok halmaza az összeadás művelettel.
A természetes számok halmaza a szorzás művelettel.
Tetszőleges $L$ nem üres halmaz az $a*b:=a$ ( $a,b\in L$ ) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem jobb oldali egységelem, és minden elem bal oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat balzéró félcsoportoknak nevezzük). $L$ minden eleme idempotens elem, tehát $L$ egy köteg.
Tetszőleges $R$ nem üres halmaz az $a*b:=b$ ( $a,b\in R$ ) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem bal oldali egységelem, és minden elem jobb oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat jobbzéró félcsoportoknak nevezzük). $R$ minden eleme idempotens elem, tehát $R$ egy köteg.
Tetszőleges $X$ és $Y$ nem üres halmazok esetén az $X\times Y$ Descartes szorzat, ahol a művelet a következőképpen van értelmezve $(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1},y_{2})$ . Ez a félcsoport egy speciális köteg; az ilyen félcsoportot derékszögű kötegnek nevezzük.
Tetszőleges nem üres $X$ halmaz összes önmagába való egyértelmű leképezéseinek (azaz transzformációinak) $T_{X}$ halmaza, ahol a művelet a leképezések szokásos kompozíciója. Ezt a félcsoportot az $X$ halmaz feletti teljes transzformációfélcsoportnak nevezzük.

Tulajdonságok

Minden félcsoport izomorf egy teljes transzformációfélcsoport valamely részfélcsoportjával.
Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali egységeleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali egységeleme, egyetlen bal oldali egységeleme, s így egyetlen egységeleme.
Egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha a művelet invertálható, azaz tetszőleges $a,b\in S$ elemekhez megadhatók olan $x,y\in S$ elemek, melyekre $ax=b$ és $ya=b$ teljesülnek.
Egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy $e$ bal oldali egységeleme és $S$ minden $a$ elemének van $e$ -re vonatkozó bal oldali inverze, azaz létezik olyan $b\in S$ elem, melyre $ba=e$ teljesül.
Érvényes az előző tétel duálisa, azaz egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy $e$ jobb oldali egységeleme és $S$ minden $a$ elemének van $e$ -re vonatkozó jobb oldali inverze, azaz létezik olyan $b\in S$ elem, melyre $ab=e$ teljesül.
Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali nulleleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali nulleme, egyetlen bal oldali nulleleme, s így egyetlen nulleleme.
Ha $a$ egy $S$ félcsoport reguláris eleme úgy, hogy $axa=a$ teljesül valmely $x\in S$ elemre, akkor az $ax$ és $xa$ elemek a félcsoport idempotens elemei.
Egy reguláris félcsoport akkor és csak akkor inverz félcsoport, ha idempotens elemei felcserélhetők egymással, azaz $ef=fe$ teljesül a félcsoport tetszőleges $e$ és $f$ idempotens elemeire.
Egy köteg akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha tetszőleges $a$ és $b$ elemeire $aba=a$ teljesül.
Egy félcsoport akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha izomorf egy balzéró félcsoportnak és egy jobbzéró félcsoportnak a direkt szorzatával.
Egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű), ha tetszőlege $a\in S$ elem esetén $Sa=S$ ( $aS=S$ , $SaS=S$ ) teljesül.

Kapcsolódó szócikkek

Hivatkozások

Clifford, A.H. and G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., I(1961), II(1967)
Nagy, A., Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001
Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

Források

félcsoport a PlanetMath-on.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

@@ 25. sor: / 25. sor: @@
 Egy <math>S</math> félcsoport részfélcsoportján az <math>S</math> halmaz olyan nem üres <math>B</math> részhalmazát értjük, amely maga is félcsoport az <math>S</math>-beli műveletre nézve, azaz tetszőleges <math>b_1, b_2\in B</math> elemek esetén <math>b_1b_2\in B</math>.
-Egy <math>S</math> félcsoport <math>B</math> részfélcsoportját az <math>S</math> egy bal (jobb) oldali ideáljának nevezzük, ha tetszőleges <math>s\in S</math> és <math>b\in B</math> elemekre <math>sb\in B</math> (<math>bs\in B</math>) teljesül. Ha <math>B</math> az <math>S</math> bal oldali és egyben jobb oldali ideálja is, akkor <math>B</math>-t az <math>S</math> egy ideáljának nevezzük.
+Egy <math>S</math> félcsoport <math>B</math> részfélcsoportját az <math>S</math> egy bal (jobb) oldali ideáljának nevezzük, ha tetszőleges <math>s\in S</math> és <math>b\in B</math> elemekre <math>sb\in B</math> (<math>bs\in B</math>) teljesül. Ha <math>B</math> az <math>S</math> bal oldali és egyben jobb oldali ideálja is, akkor <math>B</math>-ről azt mondjuk, hogy az <math>S</math> egy ideálja.
 Minden <math>S</math> félcsoportnak <math>S</math> egy bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja). Ha <math>S</math>-nek nincs önmagától különböző (azaz valódi) bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja), akkor az <math>S</math> félcsoportot bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű) félcsoportnak nevezzük.
 ==Kitüntetett elemek félcsoportban==
-Egy <math>S</math> félcsoport <math>e</math> elemét a félcsoport bal (jobb) oldali egységelemének nevezzük, ha tetszőleges <math>a\in S</math> elemre <math>ea=a</math> (<math>ae=a</math>) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport egységelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali egységeleme is. Minden félcsoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Egy egységelemes félcsoportot [[monoid]]nak nevezünk.
+Azt mondjuk, hogy egy <math>S</math> félcsoport <math>e</math> eleme a félcsoport bal (jobb) oldali egységeleme, ha tetszőleges <math>a\in S</math> elemre <math>ea=a</math> (<math>ae=a</math>) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport egységelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali egységeleme is. Minden félcsoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Egy egységelemes félcsoportot [[monoid]]nak nevezünk.
-Egy <math>e</math> egységelemes <math>S</math> félcsoport <math>b</math> elemét egy <math>a\in S</math> elem bal (jobb) oldali inverzének nevezzük, ha <math>ba=e</math> (<math>ab=e</math>). A <math>b</math> elemet az <math>a</math> elem inverzének nevezzük, ha <math>b</math> az <math>a</math>-nak bal oldali és egyben jobb oldali inverze is. Egy monoid minden elemének legfeljebb egy inverze van.
+Akkor mondjuk, hogy egy <math>e</math> egységelemes <math>S</math> félcsoport <math>b</math> eleme egy <math>a\in S</math> elem bal (jobb) oldali inverze, ha <math>ba=e</math> (<math>ab=e</math>). A <math>b</math> elemet az <math>a</math> elem inverzének nevezzük, ha <math>b</math> az <math>a</math>-nak bal oldali és egyben jobb oldali inverze is. Egy monoid minden elemének legfeljebb egy inverze van.
 Egy olyan monoidot, amelyben minden elemnek van inverze csoportnak nevezünk.
-Egy <math>S</math> félcsoport <math>0</math> elemét a félcsoport bal (jobb) oldali nullelemének nevezzük, ha tetszőleges <math>a\in S</math> elemre <math>0a=0</math> (<math>a0=0</math>) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport nullelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali nullelem is.
+Egy <math>S</math> félcsoport <math>0</math> eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport bal (jobb) oldali nulleleme, ha tetszőleges <math>a\in S</math> elemre <math>0a=0</math> (<math>a0=0</math>) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport nullelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali nullelem is.
-Egy félcsoport <math>e</math> elemét idempotens elemnek nevezzük, ha <math>e^2=e</math>. Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elem. Egy olyan félcsoportot, melynek minden eleme idempotens elem [[köteg]]nek nevezünk. Egy kommutatív köteget [[félháló]]nak nevezünk.
+Egy félcsoport <math>e</math> elemét idempotens elemnek nevezzük, ha <math>e^2=e</math>. Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elemek. [[Köteg]]en olyan félcsoportot értünk, melynek minden eleme idempotens elem. Egy kommutatív köteget [[félháló]]nak nevezünk.
-Egy <math>S</math> félcsoport <math>a</math> elemét a félcsoport reguláris elemének nevezzük, ha van <math>S</math>-nek olyan <math>x</math> eleme, melyre <math>axa=a</math> teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem [[reguláris félcsoport]]nak nevezünk.
+Egy <math>S</math> félcsoport <math>a</math> eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport reguláris eleme, ha van <math>S</math>-nek olyan <math>x</math> eleme, melyre <math>axa=a</math> teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem [[reguláris félcsoport]]nak nevezünk.
 Egy <math>S</math> félcsoport <math>b</math> eleméről azt mondjuk, hogy egy <math>a\in S</math> elem Neumann-féle inverze, ha <math>aba=a</math> és <math>bab=b</math>. Világos, hogy ha <math>b</math> Neumann-féle inverze <math>a</math>-nak, akkor <math>a</math> Neumann-féle inverze <math>b</math>-nek (azaz <math>a</math> és <math>b</math> egymás Neumann-féle inverzei).
@@ 70. sor: / 70. sor: @@
 ==Hivatkozások==
-*Rédei, László, ''Algebra  I. kötet'', Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
-*Szendrei, Ágnes, ''Diszkrét matematika'', Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
 *Clifford, A.H. and G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., I(1961), II(1967)
 *Nagy, A., Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001
+*Rédei, László, ''Algebra  I. kötet'', Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
+*Szendrei, Ágnes, ''Diszkrét matematika'', Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
 ==Források==