„Félcsoport” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2015. január 3., 23:48-kori változata

A matematikában az asszociatív grupoidokat félcsoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan egyműveletes $(S;*)$ algebrai struktúra, amelyben a $*$ binér művelet aszociatív. Ha a $*$ művelet kommutatív is, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Definíció

Legyen $(S;*)$ tetszőleges grupoid. Azt mondjuk, hogy $(S;*)$ félcsoport, ha a $*$ művelet asszociatív, azaz ha az $S$ un. alaphalmaz tetszőleges $a,b,c$ elemeire $a*(b*c)=(a*b)*c$ teljesül. Ha a $*$ művelet kommutatív is, azaz $a*b=b*a$ teljesül tetszőleges $a,b\in S$ elemekre, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Tetszőleges $(S;*)$ félcsoportban érvényes az általános asszociativitás törvénye, azaz a $*$ művelet eredménye nem függ a zárójelezéstől, csupán a vizsgált kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől. Kommutatív félcsoportban érvényes az általános kommutativitás törvénye, azaz a művelet eredménye nem csak a zárójelezéstől független, hanem a kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől is.

Egy $(S;*)$ félcsoport tetszőleges $a$ eleme esetén az $a*a$ elemet kétféleképpen szoktuk jelölni. Vagy (a számok összegének mintájára) $2a$ , vagy pedig (a számok szorzatának mintájára) $a^{2}$ módon. Ilyenkor azt is szoktuk mondani, hogy (az első esetben) additív írásmódot, illetve (a második esetben) multiplikatív írásmódot használunk, a művelet jeleként pedig az összeadás, illetve a szorzás jelét használjuk; multiplikatív írásmód esetén gyakran el is hagyjuk a szorzás jelét: $a\cdot b$ helyett $ab$ -t írunk. Additív írásmód esetén az $n$ -tagú $a+\cdots +a$ összeget $na$ , multiplikatív írásmód esetén az $n$ -tényezős $a\cdots a$ szorzatot $a^{n}$ módon jelöljük; itt $n$ pozitív egész szám. Egy félcsoport tetszőleges $a$ és $b$ elemeire és tetszőleges $n,m$ pozitív egészekre érvényesek az alábbiak.

Additív írásmód esetén:

$(n+m)a=na+ma,$
$(nm)a=n(ma)=m(na),$
Ha a félcsoport kommutatív, akkor $n(a+b)=na+nb.$

Multiplikatív írásmód esetén:

$a^{(n+m)}=a^{n}a^{m},$
$a^{(nm)}=(a^{n})^{m}=(a^{m})^{n},$
Ha a félcsoport kommutatív, akkor $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$

A továbbiakban multiplikatív írásmódot használunk, és a félcsoportokat csak az alaphalmazukkal jelöljük.

Részfélcsoport, ideál

Egy $S$ félcsoport részfélcsoportján az $S$ halmaz olyan nem üres $B$ részhalmazát értjük, amely maga is félcsoport az $S$ -beli műveletre nézve, azaz tetszőleges $b_{1},b_{2}\in B$ elemek esetén $b_{1}b_{2}\in B$ .

Egy $S$ félcsoport $B$ részfélcsoportját az $S$ egy bal (jobb) oldali ideáljának nevezzük, ha tetszőleges $s\in S$ és $b\in B$ elemekre $sb\in B$ ( $bs\in B$ ) teljesül. Ha $B$ az $S$ bal oldali és egyben jobb oldali ideálja is, akkor $B$ -t az $S$ egy ideáljának nevezzük. Minden $S$ félcsoportnak $S$ egy bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja). Ha $S$ -nek nincs önmagától különböző (azaz valódi) bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja), akkor az $S$ félcsoportot bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű) félcsoportnak nevezzük.

Kitüntetett elemek félcsoportban

Egy $S$ félcsoport $e$ elemét a félcsoport bal (jobb) oldali egységelemének nevezzük, ha tetszőleges $a\in S$ elemre $ea=a$ ( $ae=a$ ) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport egységelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali egységeleme is. Minden félcsoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Egy egységelemes félcsoportot monoidnak nevezünk.

Egy $e$ egységelemes $S$ félcsoport $b$ elemét egy $a\in S$ elem bal (jobb) oldali inverzének nevezzük, ha $ba=e$ ( $ab=e$ ). A $b$ elemet az $a$ elem inverzének nevezzük, ha $b$ az $a$ -nak bal oldali és egyben jobb oldali inverze is. Egy monoid minden elemének legfeljebb egy inverze van.

Egy olyan monoidot, amelyben minden elemnek van inverze csoportnak nevezünk.

Egy $S$ félcsoport $0$ elemét a félcsoport bal (jobb) oldali nullelemének nevezzük, ha tetszőleges $a\in S$ elemre $0a=0$ ( $a0=0$ ) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport nullelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali nullelem is.

Egy félcsoport $e$ elemét idempotens elemnek nevezzük, ha $e^{2}=e$ . Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elem. Egy olyan félcsoportot, melynek minden eleme idempotens elem kötegnek nevezünk. Egy kommutatív köteget félhálónak nevezünk.

Egy $S$ félcsoport $a$ elemét a félcsoport reguláris elemének nevezzük, ha van $S$ -nek olyan $x$ eleme, melyre $axa=a$ teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem reguláris félcsoportnak nevezünk.

Egy $S$ félcsoport $b$ eleméről azt mondjuk, hogy egy $a\in S$ elem Neumann-féle inverze, ha $aba=a$ és $bab=b$ . Világos, hogy ha $b$ Naumann-féle inverze $a$ -nak, akkor $a$ Naumann-féle inverze $b$ -nek (azaz $a$ és $b$ egymás Naumann-féle inverzei). Könnyen ellenőrizhető, hogy ha $a$ egy $S$ félcsoport reguláris eleme úgy, hogy $axa=a$ , akkor $a$ és $xax$ egymás Naumann-féle inverzei. Ha egy reguláris félcsoportban minden elemnek pontosan egy Naumann-féle inverze van, akkor a félcsoportot inverz félcsoportnak nevezzük.

Példák félcsoportokra

A természetes számok halmaza az összeadás művelettel.
A természetes számok halmaza a szorzás művelettel.
Tetszőleges $L$ nem üres halmaz az $a*b:=a$ ( $a,b\in L$ ) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem jobb oldali egységelem, és minden elem bal oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat balzéró félcsoportoknak nevezzük). $L$ minden eleme idempotens elem, tehát $L$ egy köteg.
Tetszőleges $R$ nem üres halmaz az $a*b:=b$ ( $a,b\in R$ ) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem bal oldali egységelem, és minden elem jobb oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat jobbzéró félcsoportoknak nevezzük). $R$ minden eleme idempotens elem, tehát $R$ egy köteg.
Tetszőleges $X$ és $Y$ nem üres halmazok esetén az $X\times Y$ Descartes szorzat, ahol a művelet a következőképpen van értelmezve $(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1},y_{2})$ . Ez a félcsoport egy speciális köteg; az ilyen félcsoportot derékszögű kötegnek nevezzük.
Tetszőleges nem üres $X$ halmaz összes önmagába való egyértelmű leképezéseinek (azaz transzformációinak) $T_{X}$ halmaza, ahol a művelet a leképezések szokásos kompozíciója. Ezt a félcsoportot az $X$ halmaz feletti teljes transzformációfélcsoportnak nevezzük.

Tulajdonságok

Minden félcsoport izomorf egy teljes transzformációfélcsoport valamely részfélcsoportjával.
Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali egységeleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali egységeleme, egyetlen bal oldali egységeleme, s így egyetlen egységeleme.
Egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha a művelet invertálható, azaz tetszőleges $a,b\in S$ elemekhez megadhatók olan $x,y\in S$ elemek, melyekre $ax=b$ és $ya=b$ teljesülnek.
Egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy $e$ bal oldali egységeleme és $S$ minden $a$ elemének van $e$ -re vonatkozó bal oldali inverze, azaz létezik olyan $b\in S$ elem, melyre $ba=e$ teljesül.
Érvényes az előző tétel duálisa, azaz egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy $e$ jobb oldali egységeleme és $S$ minden $a$ elemének van $e$ -re vonatkozó jobb oldali inverze, azaz létezik olyan $b\in S$ elem, melyre $ab=e$ teljesül.
Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali nulleleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali nulleme, egyetlen bal oldali nulleleme, s így egyetlen nulleleme.
Ha $a$ egy $S$ félcsoport reguláris eleme úgy, hogy $axa=a$ teljesül valmely $x\in S$ elemre, akkor az $ax$ és $xa$ elemek a félcsoport idempotens elemei.
Egy reguláris félcsoport akkor és csak akkor inverz félcsoport, ha idempotens elemei felcserélhetők egymással, azaz $ef=fe$ teljesül a félcsoport tetszőleges $e$ és $f$ idempotens elemeire.
Egy köteg akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha tetszőleges $a$ és $b$ elemeire $aba=a$ teljesül.
Egy félcsoport akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha izomorf egy balzéró félcsoportnak és egy jobbzéró félcsoportnak a direkt szorzatával.
Egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű), ha tetszőlege $a\in S$ elem esetén $Sa=S$ ( $aS=S$ , $SaS=S$ ) teljesül.

Kapcsolódó szócikkek

Hivatkozások

Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
Clifford, A.H. and G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., I(1961), II(1967)
Nagy, A., Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001

Források

félcsoport a PlanetMath-on.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

@@ 41. sor: / 41. sor: @@
 Egy <math>S</math> félcsoport <math>a</math> elemét a félcsoport reguláris elemének nevezzük, ha van <math>S</math>-nek olyan <math>x</math> eleme, melyre <math>axa=a</math> teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem [[reguláris félcsoport]]nak nevezünk.
-Egy <math>S</math> félcsoport <math>b</math> eleméről azt mondjuk, hogy egy <math>a\in S</math> elem Neumann-féle inverze, ha <math>aba=a</math> és <math>bab=b</math>. Világos, hogy ha <math>b</math> inverze <math>a</math>-nak, akkor <math>a</math> inverze <math>b</math>-nek (azaz <math>a</math> és <math>b</math> egymás inverzei).
+Egy <math>S</math> félcsoport <math>b</math> eleméről azt mondjuk, hogy egy <math>a\in S</math> elem Neumann-féle inverze, ha <math>aba=a</math> és <math>bab=b</math>. Világos, hogy ha <math>b</math> Naumann-féle inverze <math>a</math>-nak, akkor <math>a</math> Naumann-féle inverze <math>b</math>-nek (azaz <math>a</math> és <math>b</math> egymás Naumann-féle inverzei).
-Könnyen ellenőrizhető, hogy ha <math>a</math> egy <math>S</math> félcsoport reguláris eleme úgy, hogy <math>axa=a</math>, akkor <math>a</math> és <math>xax</math> egymás inverzei. Ha egy reguláris félcsoportban minden elemnek pontosan egy inverze van, akkor a félcsoportot [[inverz félcsoport]]nak nevezzük.
+Könnyen ellenőrizhető, hogy ha <math>a</math> egy <math>S</math> félcsoport reguláris eleme úgy, hogy <math>axa=a</math>, akkor <math>a</math> és <math>xax</math> egymás Naumann-féle inverzei. Ha egy reguláris félcsoportban minden elemnek pontosan egy Naumann-féle inverze van, akkor a félcsoportot [[inverz félcsoport]]nak nevezzük.
 ==Példák félcsoportokra==