„Konvex és konkáv függvény” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
aNincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
26. sor: 26. sor:
Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti ''f'' – T<sub>1,u</sub><sup>f</sup> ≧ 0 illetve ''f'' – T<sub>1,u</sub><sup>f</sup> ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges ''u'' ∈ <math>I</math> pontnál).
Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti ''f'' – T<sub>1,u</sub><sup>f</sup> ≧ 0 illetve ''f'' – T<sub>1,u</sub><sup>f</sup> ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges ''u'' ∈ <math>I</math> pontnál).


Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fenáll a következő
Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fennáll a következő


'''Tétel''' – ''A konvexitás (konkavitás) jellemzése'' – Az ''f'': <math>I</math> <math>\rightarrow</math> '''R''' intervallumon értelmezett kétszer [[differenciálhatóság|differenciálható]] függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).
'''Tétel''' – ''A konvexitás (konkavitás) jellemzése'' – Az ''f'': <math>I</math> <math>\rightarrow</math> '''R''' intervallumon értelmezett kétszer [[differenciálhatóság|differenciálható]] függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).
35. sor: 35. sor:
[[Fájl:Konkáv.jpg|thumb|left|A függvény '''konkáv''' a [0;1,9] intervallumban]]
[[Fájl:Konkáv.jpg|thumb|left|A függvény '''konkáv''' a [0;1,9] intervallumban]]
[[Fájl:Konvex.jpg|thumb|rigt|A függvény '''konvex''' a [-1,9;0] intervallumban]]
[[Fájl:Konvex.jpg|thumb|rigt|A függvény '''konvex''' a [-1,9;0] intervallumban]]

== Tulajdonságok ==
== Tulajdonságok ==
*Konvex függvények [[lineáris kombináció]]ja újra konvex lesz, ha nincs benne negatív együttható. Konkáv függvények csupa nem negatív együtthatós lineáris kombinációja újra konkáv.
*Konvex függvények [[lineáris kombináció]]ja újra konvex lesz, ha nincs benne negatív együttható. Konkáv függvények csupa nem negatív együtthatós lineáris kombinációja újra konkáv.

A lap 2014. december 28., 01:10-kori változata

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvényt konvexnek nevezünk, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konvex halmaz, azaz ha egy tetszőleges szakasz két végpontja benne van a síktartományban, akkor a szakasz összes pontja is. Egy másik szemléletes megfogalmazás, hogy akkor konvex egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.

Az Rn egy konvex részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény esetén is szokás konvexitásról beszélni, ennek formális megfogalmazása lentebb található. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R2 R esetben) konvex.

Hasonlóan, egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvény konkáv, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konkáv. Ekvivalensen, akkor konkáv egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe fölött halad. A konkáv tulajdonság is kiterjeszthető az Rn egy konvex részén értelmezett függvényekre. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R2 R esetben) konkáv.

Köznapi nyelven a konvex-konkáv fogalmat így írják le: a konvexben nem lehet elbújni, a konkávban lehet.

Általános definíció

Az f: R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad, azaz tetszőleges a < b pontra az -ből és t ∈ [0,1]-re:

f konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad, azaz ha tetszőleges a < b pontra az -ből és t ∈ [0,1]-re:

Szigorúan konvexnek illetve szigorúan konkávnak nevezzük f-et, ha a fenti formulában csak akkor teljesülhet egyenlőség, ha t= 0 vagy 1.

A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak a és b az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja.

Konvexitás és differenciálhatóság

Ha az f: R intervallumon értelmezett, valós függvény differenciálható, akkor ennek konvex tulajdonsága még a következőképpen is megfogalmazható: minden -beli , számpár esetén

illetve konkáv, ha minden -beli , számpár esetén:

Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti f – T1,uf ≧ 0 illetve f – T1,uf ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges u pontnál).

Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fennáll a következő

TételA konvexitás (konkavitás) jellemzése – Az f: R intervallumon értelmezett kétszer differenciálható függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).

f konvex
f konkáv
A függvény konkáv a [0;1,9] intervallumban
A függvény konvex a [-1,9;0] intervallumban

Tulajdonságok

  • Konvex függvények lineáris kombinációja újra konvex lesz, ha nincs benne negatív együttható. Konkáv függvények csupa nem negatív együtthatós lineáris kombinációja újra konkáv.
  • Ha egy függvénysorozat véges kivétellel csupa konvex, vagy konkáv függvényt tartalmaz, akkor a sorozat határértéke is ilyen lesz.
  • Konvex függvények felső burkolója konvex, konkáv függvények alsó burkolója konkáv.
  • Teljesül a Jensen-egyenlőtlenség: ha f konvex, és a λi együtthatók egyike sem negatív, akkor

Ha f konkáv, akkor az egyenlőtlenség fordított irányú.

  • Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény folytonos azon az intervallumon. Megfordítva, ha egy nyílt intervallumon folytonos függvényre teljesül a Jensen-egyenlőtlenség, akkor a függvény az egyenlőtlenség irányától függően konvex, vagy konkáv.
  • Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény majdnem mindenütt differenciálható.
  • Mindezek a tulajdonságok több dimenziós esetben is teljesülnek, ha nyílt intervallum helyett mindig tartományt, azaz összefüggő nyílt halmazt tekintünk.
  • Végtelen dimenzióban nem lesz az összes konvex és konkáv függvény folytonos, mivel vannak lineáris operátorok, amik nem folytonosak. Ilyen például a differenciáloperátor.