„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a →Tételek a hatványhalmazról: hiv. korr, AWB |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
[[Fájl:Hasse diagram of powerset of 3.svg|jobbra|bélyegkép|250px|Az {''x'', ''y'', ''z''} halmaz hatványhalmazának az elemei [[Hasse-diagram]]mal ábrázolva]] |
[[Fájl:Hasse diagram of powerset of 3.svg|jobbra|bélyegkép|250px|Az {''x'', ''y'', ''z''} halmaz hatványhalmazának az elemei [[Hasse-diagram]]mal ábrázolva]] |
||
A [[halmazelmélet]]ben egy [[halmaz]] '''hatványhalmazának''' nevezzük az adott halmaz összes [[részhalmaz]]ainak a halmazát. |
A [[halmazelmélet]]ben egy [[halmaz]] '''hatványhalmazának''' nevezzük az adott halmaz összes [[részhalmaz]]ainak a halmazát. |
||
==Definíció== |
==Definíció== |
||
Ha <math>H</math> [[halmaz]], akkor <math>\mathcal{P}(H)</math>-val jelöljük és a <math>H</math> halmaz '''hatványhalmazának''' nevezzük a <math>H</math> összes [[részhalmaz]]ainak halmazát. |
Ha <math>H</math> [[halmaz]], akkor <math>\mathcal{P}(H)</math>-val jelöljük és a <math>H</math> halmaz '''hatványhalmazának''' nevezzük a <math>H</math> összes [[részhalmaz]]ainak halmazát. |
||
24. sor: | 25. sor: | ||
===Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet=== |
===Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet=== |
||
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható ''T(x)'' tulajdonságra az {''x''|''T''(''x'')} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük ''halmaznak,'' hanem csak ''osztálynak.'' |
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható ''T(x)'' tulajdonságra az {''x''|''T''(''x'')} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük ''halmaznak,'' hanem csak ''osztálynak.'' Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a ''H'' kifejezés ''halmaz,'' ha levezethető az <math>(\exists y)(H\in y)</math> formula. Ezt a formulát ''Set(H)''-val jelöljük és jelentése: "''H'' halmaz ". Rövidítsük az <math>\{x|x\subseteq H\}</math>-t <math>\mathcal{P}(H)</math>-val. Ekkor a '''hatványhalmaz axióma''' a következő formula: |
||
<math>(\forall x)(\mathcal{S}et(x)\Rightarrow\mathcal{S}et(\mathcal{P}(x))) </math> |
<math>(\forall x)(\mathcal{S}et(x)\Rightarrow\mathcal{S}et(\mathcal{P}(x))) </math> |
||
30. sor: | 31. sor: | ||
===Bourbaki-halmazelmélet=== |
===Bourbaki-halmazelmélet=== |
||
A [[Bourbaki-csoport|francia matematikuscsoport]] által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden ''A'' formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és ''x'' változó esetén <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> jelöli az <math>(\exists y)((x\in y)\Leftrightarrow A(x))</math> formulát, melynek jelentése: "az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha |
A [[Bourbaki-csoport|francia matematikuscsoport]] által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden ''A'' formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és ''x'' változó esetén <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> jelöli az <math>(\exists y)((x\in y)\Leftrightarrow A(x))</math> formulát, melynek jelentése: "az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> tétel, akkor azt mondjuk, hogy ''az A formula kollektivizáló az x változóban.'' A '''hatványhalmaz axióma''' ekkor a következő formula: |
||
<math>(\forall x)(\mathcal{C}oll_y(y\subseteq x))</math> |
<math>(\forall x)(\mathcal{C}oll_y(y\subseteq x))</math> |
||
36. sor: | 37. sor: | ||
ahol <math>y\subseteq x</math> jelöli az <math>(\forall u)((u\in y)\Rightarrow (u\in x))</math> formulát. |
ahol <math>y\subseteq x</math> jelöli az <math>(\forall u)((u\in y)\Rightarrow (u\in x))</math> formulát. |
||
==Tételek a hatványhalmazról== |
==Tételek a hatványhalmazról== |
||
* '''Tétel''' – Ha ''H'' [[véges halmaz]] és elemszáma az ''n'' természetes szám, akkor ''H'' hatványhalmazának [[számosság]]a <math>| \mathcal{P}(H) | = 2^n</math>. |
* '''Tétel''' – Ha ''H'' [[véges halmaz]] és elemszáma az ''n'' természetes szám, akkor ''H'' hatványhalmazának [[számosság]]a <math>| \mathcal{P}(H) | = 2^n</math>. |
||
:''Megjegyzés:'' Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló jelölést. |
:''Megjegyzés:'' Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló jelölést. |
||
* '''Tétel''' – ''([[Cantor-tétel]])'' – Bármely ''H'' halmaz esetén <math>\mathcal{P}(H)</math> számossága nagyobb ''H'' számosságánál. |
* '''Tétel''' – ''([[Cantor-tétel]])'' – Bármely ''H'' halmaz esetén <math>\mathcal{P}(H)</math> számossága nagyobb ''H'' számosságánál. |
||
49. sor: | 50. sor: | ||
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet. |
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet. |
||
* '''Állítás''' – |
* '''Állítás''' – Ha ''H'' halmaz, akkor a |
||
* <math>(\mathcal{P}(H),\cup)</math> és <math>(\mathcal{P}(H),\cap)</math> (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes [[félcsoport]]ok |
* <math>(\mathcal{P}(H),\cup)</math> és <math>(\mathcal{P}(H),\cap)</math> (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes [[félcsoport]]ok |
||
* <math>\mathcal{P}(H)</math> a <math>\cup</math>-val és <math>\cap</math>-val mint műveletekkel ellátva [[Boole-algebra|Boole-algebrát]] alkot |
* <math>\mathcal{P}(H)</math> a <math>\cup</math>-val és <math>\cap</math>-val mint műveletekkel ellátva [[Boole-algebra|Boole-algebrát]] alkot |
||
57. sor: | 58. sor: | ||
==Történeti adalékok== |
==Történeti adalékok== |
||
Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált [[Cantor-antinómia]] a Cantor-tételből következik. Legyen ''U'' az összes halmazok halmaza, azaz bármely ''H'' halmazra <math> H\in U </math>. A [[naiv halmazelmélet]] szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így ''U''-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: |
Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált [[Cantor-antinómia]] a Cantor-tételből következik. Legyen ''U'' az összes halmazok halmaza, azaz bármely ''H'' halmazra <math> H\in U </math>. A [[naiv halmazelmélet]] szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így ''U''-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: <math>|U|<|\mathcal{P}(U)|\leq |U|</math>, ami ellentmondás. |
||
Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a <math>\mathcal{P}(U)</math> összességet, de mivel ''Set(U)'' cáfolható, azaz ''U'' nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel. |
Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a <math>\mathcal{P}(U)</math> összességet, de mivel ''Set(U)'' cáfolható, azaz ''U'' nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel. |
||
66. sor: | 67. sor: | ||
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.]) |
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.]) |
||
* Kristóf János, ''Az analízis elemei |
* Kristóf János, ''Az analízis elemei I.'', ELTE jegyzet, 1996. |
||
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.]) |
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.]) |
||
* Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo) |
* Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo) |
||
* |
* [http://planetmath.org/encyclopedia/NicolasBourbaki.html Cikk a Bourbaki-csoportról] |
||
[[Kategória:Halmazelmélet]] |
[[Kategória:Halmazelmélet]] |
A lap 2014. május 13., 20:26-kori változata
A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát.
Definíció
Ha halmaz, akkor -val jelöljük és a halmaz hatványhalmazának nevezzük a összes részhalmazainak halmazát. Vagy másképpen: ahol a szimbólum a részhalmaz-reláció jele.
Példa
Ha az háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:
- nullaelemű részhalmaza az üres halmaz
- egyelemű részhalmazai az , a és a
- kételemű részhalmazai: , és
- egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga:
Tehát
Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai
Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a kijelentésből képezett halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz axiómának nevezzük.
Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer
ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz axiómának nevezzük a következő formulát:
ahol jelöli az formulát.
Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: "H halmaz ". Rövidítsük az -t -val. Ekkor a hatványhalmaz axióma a következő formula:
Bourbaki-halmazelmélet
A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén jelöli az formulát, melynek jelentése: "az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz axióma ekkor a következő formula:
ahol jelöli az formulát.
Tételek a hatványhalmazról
- Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága .
- Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló hatványozásra utaló jelölést.
- Tétel – (Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén számossága nagyobb H számosságánál.
Jelben: .
- Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören: .
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.
- Állítás – Ha H halmaz, akkor a
- és (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
- a -val és -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
- a relációval ellátva Boole-hálót alkot.
Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt -algebra (szigma-algebra).
Történeti adalékok
Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: , ami ellentmondás.
Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.
Felhasznált irodalom
Bourbaki halmazelméletéről
- Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)
- Kristóf János, Az analízis elemei I., ELTE jegyzet, 1996.
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)
- Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
- Cikk a Bourbaki-csoportról