Tridiagonális mátrix

A matematika lineáris algebra nevű ágában tridiagonális mátrix a neve az olyan négyzetes mátrixnak, amelyben csak a főátlón és a mellette található két átló mentén vannak nullától különböző elemek.

Például, a következő mátrix tridiagonális:

${\begin{pmatrix}1&4&0&0\\3&4&1&0\\0&2&3&4\\0&0&1&3\\\end{pmatrix}}.$

Tulajdonságok

A tridiagonális mátrix voltaképpen egy felső és alsó Hessenberg mátrix.

Determináns

Egy n dimenziós tridiagonális T mátrix determinánsát

$f_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{vmatrix}}$

a következő rekurzív képlet segítségével lehet kiszámítani:

$f_{n}=a_{n}f_{n-1}-c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2}$

ahol f₀ = 1 és f_-1 = 0.

Inverz

Egy adott T, nem szinguláris tridiagonális mátrix

$T={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}$

inverzét a következőképpen lehet kiszámolni:

$(T^{-1})_{ij}={\begin{cases}(-1)^{i+j}b_{i}\cdots b_{j-1}\theta _{i-1}\phi _{j+1}/\theta _{n}&{\text{ ha }}i\leq j\\(-1)^{i+j}c_{j}\cdots c_{i-1}\theta _{j-1}\phi _{i+1}/\theta _{n}&{\text{ ha }}i>j\\\end{cases}}$

ahol θ_i teljesíti az alábbi rekurzív feltételt:

$\theta _{i}=a_{i}\theta _{i-1}-b_{i-1}c_{i-1}\theta _{i-2}\quad {\text{ , }}i=2,3,\ldots ,n$

θ₀ = 1, θ₁ = a₁ kezdőállapottal. ϕ_i pedig teljesíti a

$\phi _{i}=a_{i}\phi _{i+1}-b_{i}c_{i}\phi _{i+2}\quad {\text{ , }}i=n-1,\ldots ,1$

feltételt ϕ_n+1 = 1 és ϕ_n = a_n kezdőállapottal.