Idődilatáció

Az idődilatáció az a relativisztikus jelenség, amikor két különböző vonatkoztatási rendszerből figyelve eltérés lép fel az idő múlásában. A nyugalomban lévőnek tekintett vonatkoztatási rendszerből nézve a mozgó vonatkoztatási rendszerben zajló esemény időtartama hosszabb lesz, mint az eseménnyel együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben mérve, ahol az idődilatáció hosszkontrakcióban nyilvánul meg. Albert Einstein relativitáselméletében két körülmény során jelenik meg:

• A speciális relativitáselméletben, mikor a két vonatkozási rendszer egymáshoz viszonyítva mozgásban van, vagyis inercia-rendszerek esetén. Ezt az effektust pontosan leírja a Lorentz-transzformáció.
• Az általános relativitáselméletben, mikor a vonatkoztatási rendszerek egymáshoz képest gyorsulnak. Ezt nevezzük gravitációs idődilatációnak.

A speciális relativitáselméletben az időeltolódás mindkét vonatkoztatási rendszerben fellép a másik rendszerből nézve. Ez feltételezi, hogy a két rendszer egymáshoz viszonyítva egyenletesen mozog és a megfigyelés ideje alatt egyik sem gyorsul. Az időeltolódást meghatározó egyenlet:

$\Delta t=\gamma \Delta t_{0}\!$

ahol

Δ t a nyugalomban lévő megfigyelő által mért időtartam,

Δ t₀ a mozgásban lévő megfigyelő által mért időtartam,

$\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ a Lorentz-tényező,

v a két megfigyelő egymáshoz viszonyított sebessége és

c a fénysebesség.

A mozgó esemény időtartama így lerövidülni látszik a nyugalomban lévő megfigyelő számára. Az eltolódás mértéke a relatív sebességgel és a gravitációs különbséggel egyenes arányban növekszik. A hétköznapi életben, de még az űrrepüléseknél sincsenek akkora relatív különbségek, hogy ez az eltolódás jelentős legyen, ezért gyakorlatilag elhanyagolható. Csak akkor válik jelentőssé, ha egy objektum legalább 1/10 fénysebességgel (30 000 km/s) halad, vagy egy nagy tömegű égitest gravitációs hatása alá kerül.

Az idődilatációt Joseph Larmor is megjósolta 1897-ben az atommag és a körülötte keringő elektronok esetében. Szerinte az egyes elektronok saját pályaszakaszaikat ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ arányban rövidebb idő alatt futják be, mint a rendszer többi része. Ezt később részecskegyorsítókban kísérletileg is bebizonyították.

Az idődilatáció egyszerű kimutatása

Fájl:Ido-dilatacio-001.jpg

A nyugalomban lévő megfigyelő által mért idő 2L/c

Fájl:Ido-dilatacio-002.jpg

A jobbra elmozduló megfigyelő számára a foton hosszabb utat tesz meg, az idő t>2L/c

Az idődilatáció egyszerűen kimutatható a speciális relativitáselmélet második posztulátuma alapján, amely szerint a fénysebesség független a fényforrás mozgásától:

Legyen két, egymással szemben álló tükörből (A és B) és egy oda-vissza haladó fotonból álló fényóra. A két tükör egymástól való távolsága L. Mikor a foton elér egy tükröt, az óra jelzést ad. Abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben az óra nyugalomban van, a foton 2L hosszúságú utat tesz meg, az óra periódusa pedig 2L/c.

Egy mozgó megfigyelő vonatkoztatási rendszerből nézve a foton hosszabb, bizonyos szöggel elforduló utat tesz meg. A második posztulátum szerint a fény sebessége minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz, ebből következtethető, hogy az óra periódusa a mozgó megfigyelő számára megnő. Más szóval az órához képest mozgó vonatkoztatási rendszerben az óra lassabban jár. A Pitagorasz-tétel alkalmazása vezet el ehhez.

$t={\frac {2\Delta }{c}}$

$\Delta ={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}vt\right)^{2}+L^{2}}}$

$ct=2{\sqrt {\left({\frac {1}{2}}vt\right)^{2}+L^{2}}}$

$c^{2}t^{2}=v^{2}t^{2}+4L^{2}$

$t^{2}={\frac {4L^{2}}{c^{2}-v^{2}}}$

$t={\frac {2L/c}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$

Hogyan képzeljük el az idődilatációt?

Azt, hogy a fénysebesség független a fényforrás sebességétől, képzeljük el úgy, mint egy sportkocsit (foton), ami a megfigyelő helyzetétől függetlenül – a fénysebesség leegyszerűsítéseként – 100 km/h-val halad. Ez egyáltalán nem természetes, hiszen ha a gyorsforgalmi út mellett mennek a sínek, és a 99 km/h-val haladó vonat ablakán kinéz egy utas, akkor azt várnánk, hogy önmagához képest csak 1 km/h-val érezze gyorsabbnak a kocsit. Az utas azonban, mindegy, hogy a vonat egy állomáson egy helyben áll, vagy éppen halad, úgy érzékeli, hogy a kocsi nála éppen 100 km/h-val halad gyorsabban. Mindeközben a külső megfigyelők, tehát a stopposok is, megerősítik, hogy a kocsi mindig és változatlanul 100 km/h-val ment. Miként lehet ezt az ellentmondást feloldani?

Amikor a kocsi elhalad a vonat mellett, a vonat ablakán kinéző utas azt látja, hogy a vonat mellett pikk-pakk elsuhan a kocsi. Egy külső szemlélő (stoppos) viszont úgy érzékeli, hogy a kocsi nagyon lassan cammog el a vonat mellett, hisz közöttük a sebességkülönbség minimális. Márpedig egy és ugyanazon eseményt figyelik meg. Ez csak úgy képzelhető el, ha az idő nem egyformán telik a vonatban és a vonaton kívül. Amíg az előzés a vonat szempontjából pár másodperc, addig kintről akár pár perc is lehet. Ha a vonat 2 km/h-val halad, akkor elhanyagolható lesz a különbség a vonat és a külső megfigyelő ideje között. Ha azonban a vonat 99,99 km/h-val halad, akkor a vonat idejében mért pár másodperc szinte végtelen ideig tart a külső megfigyelő számára. Azaz minél inkább megközelíti a vonat a kocsi sebességét (azaz a fénysebességet), annál jobban torzul az idő; míg ha a vonat elérné a kocsi sebességét, akkor a vonaton belül az idő végtelenül lelassulna, vagyis megállna. Miért talál ki valaki olyat, ami úgyis elképzelhetetlen: egy olyan kocsit, ami mindenhonnan nézve úgy tűnik, mintha 100 km/h-val haladna? Mert azt figyeltük meg, hogy a fény sebessége akár távolodó, akár közeledő égitestről jön, mindig ugyanannyinak tűnik számunkra, földi megfigyelők számára. Tehát ki sem kellett találni.

Ha ezt értjük, akkor elképzeltük a speciális relativitáselméletből következő idődilatációt, tehát azt, ami abból következik, hogy 2 megfigyelő egymáshoz képest egyenletes, a fénnyel összemérhető, de azt meg nem haladó sebességgel mozog. Nem szükséges megvizsgálni azt az esetet, hogy két megfigyelő egymáshoz képest a fénysebességnél gyorsabban mozog, mert ezt a lehetőséget (a fénysebességnél nagyobb sebesség elérését) a relativitáselmélet eleve kizárja.

Az általános relativitáselmélet azonban nemcsak egymáshoz képest egyenletes sebességgel mozgó megfigyelőket ír le, hanem olyanokat is, akik gyorsulnak egymáshoz képest. Tehát azt az esetet, ha az egyik megfigyelő (a vonatban lévő) egyre gyorsul, miközben a kocsi előzi. Ez látszólag csak némi számolási nehézséget jelent: ha a vonat 60 km/h-ról 80 km/h-ra gyorsul, miközben a kocsi leelőzi, akkor nehezebb lesz kiszámolni, hogy mennyi az idő relativisztikus dilatációja. Főleg, ha a vonat nem egyenletesen gyorsul. De mivel tudjuk, hogy a vonat sebessége nem haladhatja meg a kocsi sebességet, ezért az előzőekben leírtnál súlyosabb elvi ellentmondásra nem jutunk. A probléma tehát nem ez.

Ha az általános relativitáselméletből következő (gravitációs) idődilatációról is szeretnék fogalmat alkotni, akkor kell egy pici kitérőt tennünk: Ha reggel felébredünk, és konstatáljuk, hogy minden nagyon is megszokott rendben van a szobánkban, akkor ennek két oka lehet. Vagy tényleg minden rendben van, és a szobánk továbbra is ott van, ahol megszoktuk, a Föld nevű bolygó felszínén, vagy az is lehet, hogy az éjjel UFO-k leválasztották a szobánkat az épületről, és most éppen szobástul vontatnak minket haza a kietlen világűrön keresztül. Ha a szobánk 9,81 m/s^2 gyorsulással gyorsul felfelé (tehát annyival, amennyit a Föld gravitációja is okoz a felszínen), akkor nem fogjuk észrevenni, hogy bármi gond lenne. Ugyanannyira érezzük magunkat nehéznek, ugyanannyira jól esik visszabújni a takaró alá, stb. Erre mondta Einstein, hogy ha két dolgot nem lehet megkülönböztetni, akkor lehet hogy ez azért van, mert a két dolog, azaz gravitációs térben lenni, és annak megfelelő gyorsulással gyorsulni, egy és ugyanaz (ekvivalencia elv). Mondhatnánk erre, hogy jó, de kinézünk az ablakon és minden kiderül. De mi van, ha az UFO-k nem csak a szobánkat, hanem az egész kerületet leválasztották, és vontatják? Vagy az egész galaxist?

Érthető, hogy mi köze mindennek az idődilatációhoz: ha gyorsul a vonat, akkor idődilatációval is számolni kell, ezt korábban beláttuk. Ha pedig gravitációs térben lenni olyan, mintha gyorsulnánk, akkor ezek szerint akkor is kell idődilatációval számolni, ha gravitációs térben vagyunk. Ez nagyon izgalmas, de még nem okoz nagyobb elvi problémát, mint a gyorsuló vonat esete. Kicsit nehezebben, de ki lehet számolni a relativisztikus idődilatációt, mely egy adott gyorsuláshoz, vagy gravitációs térhez tartozik.

Van azonban egy utolsó csavar, mely feje tetejére állíthatja már eddig is picit zűrössé vált elképzelésünket a térről és időről. Nevezetesen, eddig abból a megnyugtató axiómából indultunk ki, hogy 100 km/h-nál (azaz fénysebességnél) gyorsabban semmi semmihez képest nem mozoghat. Nem is lehet semmit ennél nagyobb sebességre gyorsítani, mert ahhoz végtelenül sok energiára lenne szükség. Viszont egy papíron minden további nélkül ki lehet számolni, hogy mekkora gravitációs tér eredményezne akkora gyorsulást, amellyel záros határidőn belül elérnénk a 100 km/h-t (avagy a fénysebességet).

Vonatos példánknál maradva, nem képzelhető el olyan vonat, amely gyorsabban megy, mint 100 km/h, de elképzelhető egy olyan nagy tömegű vonat, amely olyan gravitációs teret hoz létre, mely megfeleltethető egy olyan gyorsulásnak, amellyel a vonat 500 méter alatt 100 km/h-ra gyorsulna. Ha a kocsi (foton) egy ilyen vonat mellett haladna el, amikor a vonat éppen gurul ki az állomásról, akkor a stopposok azt látnák, hogy a kocsi eleinte szépen előzi a vonatot, de aztán, ahogy a vonat gyorsul, az előzés folyamata egyre lassul, és 500 méterrel odébb nemhogy a kocsi előzné a vonatot, de már a vonat előzné a kocsit. A dologban az a hátborzongató, hogy, amint azt már az elején leszögeztük, a kocsi (foton) a megfigyelő mozgásától függetlenül 100 km/h-val halad, azaz a vonatbeli szemlélő továbbra is azt látná, hogy a kocsi (foton) szépen elsuhan a vonat mellett pár másodperc alatt. Márpedig egy és ugyanazon eseményt figyelik meg. Most akkor a kocsi előzi a vonatot, vagy a vonat a kocsit?! Könnyű belátni, hogy ez a megfigyelés csak úgy magyarázható, ha a két megfigyelő számára ellenkező irányba telik az idő.

Ha ezt nehéz elfogadnunk, gondoljunk arra, hogy egy focimeccset nézünk a tévében. Ronaldót buktatják a tizenhatoson belül, és büntetőt rúghat. Megcélozza a jobb felsőt, és Van der Saar nem tud hárítani, a labda centikre suhan el a kesztyűje mellett. A lövést többször visszajátsszák, lassításban is. A kritikus részt szinte kockánként figyelhetjük meg. Az egyik lassítás során azt látjuk, hogy a labda nem a kapu felé repül, hanem vissza, Ronaldo felé. Nem jönnénk zavarba, mert tudnánk, hogy ez ugyanaz a gól, csak most éppen visszatekerik a filmet, azaz az idő rendes folyásával ellenkező irányban haladunk az eseményekben. Ahogy azonban lehetséges visszafelé lejátszani egy gólt felvételről, úgy nem lehetséges valóban visszafelé utazni az időben. Ugyanúgy (és ugyanazért) nem, mint amiért nem lehetséges a fénysebességnél nagyobb sebességgel mozogni.

Ez a helyzet egy annyira feloldhatatlan ellentmondásra vezet, hogy kénytelenek vagyunk azt feltételezni, hogy egy ilyen nagy tömegű vonat (fekete lyuk) közelében elvileg sem képzelhető el semmilyen kocsi, vagy egyéb dolog. Ha egy kocsi (foton) vagy egyáltalán bármi a vonat 500 méteres körzetébe (az eseményhorizonton belülre) kerülne, akkor ez megmagyarázhatatlan ellentmondásra vezetne a vonaton kívüli világ számára. Ugyanis ahhoz, hogy a stopposok érzékeljenek (pl. lássanak) egy ilyen előzést, ahhoz az kéne, hogy a vonat 500 méteres körzetéből valami (pl. a fény) kijusson. Ez viszont csak úgy lenne lehetséges, ha ez a valami (pl. foton) gyorsabban haladna mint a fény, vagy visszafelé haladna az időben. Mi több, ez a kettő egy és ugyanaz. Ahogy a gól előtti pillanatokat is csak úgy nézhetjük újra, ha visszatekerjük a filmet (visszafelé haladunk az időben), vagy leelőzzük azokat a fotonokat, amelyek a gól előtti pillanatokban hagyták el a pályát és aztán megnézzük a belőlük összeálló eseményt, a gólt.

Az eseményhorizonton beül tehát kizárólag a fekete lyuk felé telik az idő. Mivel pedig kiderült, hogy maga az idő is telhet kizárólag a tér egy bizonyos irányába, vagy általánosabban, az idő nem feltétlenül telik egyformán a tér különböző irányaiba, nem indokolt térről és időről külön tárgyalni. Helyesebb téridőről beszélni.

Az ilyen nagy tömegű vonatok (fekete lyukak) létezéséről csak úgy szerezhetünk tudomást, hogy az egyébként forgalmas út egy részén feltűnően sosincs kocsi.

Ha a fény útja "meggörbül" nagy tömegű égitestek közelében, akkor nem helyes azt gondolnunk, hogy a fény "kanyarodik", sokkal inkább egyenesen megy a görbült téridőben. Ugyanis nagy tömegű égitestek közelében az idő, az égitest tömegétől függően, többé-kevésbé befelé, az égitest felé telik. Elvileg elképzelhető, hogy egy kocsi elhagyja a vonat 500 méteres körzetét, például ha a kocsi ott "keletkezik" 499 méterre a még álló vonattól. Ekkor a kocsi (foton) meg a külső szemlélő, a stoppos számára is gyorsabb mint a vonat, és minden további nélkül kikerülhet az eseményhorizonton kívülre. És ugyan egy kocsi "keletkezése" a gyorsforgalmi úton nem képzelhető el, de egy foton keletkezése az eseményhorizonton belül egyáltalán nem furcsa (például két részecske ütközése során), és így a fekete lyukak bizonyos "párolgása" is lehetséges.]

Az idődilatáció és az űrrepülés

Az idődilatáció lehetővé teszi, hogy egy gyorsan mozgó űrhajó rövid idő alatt hatalmas távolságot tegyen meg. Az űrhajón elhelyezett óra rövidebb időtartamot mér, mint a Földön hagyott, nyugalomban lévő óra. Elég nagy sebességeknél az egyéves utazás a Földön tíz évet is jelentene. Állandó 1 g gyorsulással egy emberi élet alatt körbe lehetne utazni az ismert (13,7 milliárd fényév sugarú) univerzumot. Az űrutazók többmilliárd év múlva térnének vissza a Földre (feltéve természetesen, hogy az univerzum nem omlott össze, és a Naprendszer még létezik).

Az effektus sokkal ésszerűbb kihasználása a közeli csillagokhoz való utazás lenne, anélkül, hogy az emberek egész életüket az űrhajón töltenék el. Persze az idődilatáció alkalmazása új, fejlett meghajtási módszereket igényelne. Egy másik probléma a relativisztikus utazással, hogy ilyen sebességnél a ritka intersztelláris közeg szétszóródott részecskéi nagy energiájú kozmikus sugár áramlattá válnának, amelyek különleges védelem nélkül elpusztítanák az űrhajót.

Idődilatáció állandó gyorsulásnál

A speciális relativitáselmélet az idődilatációt állandó mozgás esetén írja le. Lorentz-egyenletekkel sajátidőt és térbeli mozgást számíthatunk ki abban az egyszerű esetben, ha a mozgó esemény egy vonatkoztatási ponthoz képest gyorsul.

Legyen t egy inerciális rendszer sajátideje, x egy térbeli koordináta, és egy objektum állandó gyorsulásának iránya, valamint a sebessége párhuzamos az x tengellyel. Ha az objektum helyzete t=0-ban x=0 és a sebessége v₀, akkor felírhatók a következő egyenletek:

Helyzet:

$x=\left({\sqrt {1+{\frac {(g\cdot t+v_{0})^{2}}{c^{2}}}}}-{\sqrt {1+{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}\right)\cdot {\frac {c^{2}}{g}}$

Sebesség:

$v={\frac {g\cdot t+v_{0}}{\sqrt {1+{\frac {\left(g\cdot t+v_{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}}$

Sajátidő:

$t^{*}={\frac {c}{g}}\cdot \ln \left(\left({\sqrt {c^{2}+v_{0}^{2}}}-v_{0}\right)\cdot {\frac {{\sqrt {c^{2}+(g\cdot t+v_{0})^{2}}}+g\cdot t+v_{0}}{c^{2}}}\right)$

Az inerciarendszer ideje x függvényében:

$t={\frac {1}{g}}\cdot \left(-v_{0}+{\frac {1}{c}}\cdot {\sqrt {v_{0}^{2}\cdot c^{2}+x^{2}\cdot g^{2}+2\cdot x\cdot g\cdot c\cdot {\sqrt {c^{2}+v_{0}^{2}}}}}\right)$

További információk

• Interaktív Flash szimuláció az idődilatáció érzékeltetésére. Szerző: Michael Fowler
• Flash prezentáció az idődilatáció magyarázatával. Szerző: David M. Harrison