„Tarski-féle T-séma” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a hiv. korr, AWB |
|||
1. sor: | 1. sor: | ||
A [[filozófiai logika|filozófiai logikában]] a '''Tarski-féle T-séma''' egy alapvető következménye a formális nyelvi (szimbolikus logikai) mondatatok Tarski-féle igazságdefiníciójának. Az igaz mondat definícióját [[Tarski]] a ''Az igazság fogalma a formális nyelvekben'' (1933) című tanulmányában közölte és ennek a cikknek a megjelenését tekintjük a modern modellelméleti szemantika megszületésének. |
A [[filozófiai logika|filozófiai logikában]] a '''Tarski-féle T-séma''' egy alapvető következménye a formális nyelvi (szimbolikus logikai) mondatatok Tarski-féle igazságdefiníciójának. Az igaz mondat definícióját [[Tarski]] a ''Az igazság fogalma a formális nyelvekben'' (1933) című tanulmányában közölte és ennek a cikknek a megjelenését tekintjük a modern modellelméleti szemantika megszületésének. |
||
==Definíció== |
==Definíció== |
||
5. sor: | 5. sor: | ||
Tekintsünk egy '''L''' [[elsőrendű nyelvek|elsőrendű formális nyelvet]]. Az a nyelv, amelyben vizsgálat tárgyává tesszük az '''L''' nyelvet, az ''M'' ''[[metanyelv]]''. A metanyelv segítségével fogalmazzuk meg, hogy mit tekintünk '''L'''-ben értelmes mondatnak, axiómának, levezethető mondatnak stb. A metanyelvnek mindent "kell tudnia", amit az '''L''' nyelv tud, ellenkező esetben nem lenne "magyarázó közeg" a formális nyelv számára. Ebben a kontextusban az '''L''' nyelvet ''tárgynyelvnek'' nevezzük. A tárgynyelv minden egyes '''S''' mondatának van egy metanyelvi ''P'' fordítása, mely úgy tekinthető, mint ''"az a kijelentés, amit'' '''S''' ''tartalmilag állít"''. Továbbá az '''S''' mondatra mint szimbólumsorra lehet hivatkozni a metanyelvben: az ''(S)'' metanyelvi kifejezés úgy tekinthető, mint az ''"a tárgynyelv '''S''' mondata"'' hivatkozás. [[Alfred Tarski|Tarski]] mutatott egy módszert, mely segítségével definiálható a tárgynyelvi mondatok igazságának fogalma. (A definíció hozzávetőlegesen megegyezik azzal, amit a logikai [[szemantika|szemantikában]] interpretáció szerinti igazságnak nevezünk, azzal a különbséggel, hogy az interpretáció alaphalmazát a metanyelv objektumai alkotják.) Ekkor minden '''S''' tárgynyelvi mondat esetén a |
Tekintsünk egy '''L''' [[elsőrendű nyelvek|elsőrendű formális nyelvet]]. Az a nyelv, amelyben vizsgálat tárgyává tesszük az '''L''' nyelvet, az ''M'' ''[[metanyelv]]''. A metanyelv segítségével fogalmazzuk meg, hogy mit tekintünk '''L'''-ben értelmes mondatnak, axiómának, levezethető mondatnak stb. A metanyelvnek mindent "kell tudnia", amit az '''L''' nyelv tud, ellenkező esetben nem lenne "magyarázó közeg" a formális nyelv számára. Ebben a kontextusban az '''L''' nyelvet ''tárgynyelvnek'' nevezzük. A tárgynyelv minden egyes '''S''' mondatának van egy metanyelvi ''P'' fordítása, mely úgy tekinthető, mint ''"az a kijelentés, amit'' '''S''' ''tartalmilag állít"''. Továbbá az '''S''' mondatra mint szimbólumsorra lehet hivatkozni a metanyelvben: az ''(S)'' metanyelvi kifejezés úgy tekinthető, mint az ''"a tárgynyelv '''S''' mondata"'' hivatkozás. [[Alfred Tarski|Tarski]] mutatott egy módszert, mely segítségével definiálható a tárgynyelvi mondatok igazságának fogalma. (A definíció hozzávetőlegesen megegyezik azzal, amit a logikai [[szemantika|szemantikában]] interpretáció szerinti igazságnak nevezünk, azzal a különbséggel, hogy az interpretáció alaphalmazát a metanyelv objektumai alkotják.) Ekkor minden '''S''' tárgynyelvi mondat esetén a |
||
:Az ''(S)'' mondat akkor és csak akkor ''igaz'', ha ''P'' |
:Az ''(S)'' mondat akkor és csak akkor ''igaz'', ha ''P'' |
||
metanyelvi kijelentést az '''S''' tárgynyelvi mondat T-sémabeli alakjának nevezzük. A T-séma (Tarski igazságdefiníciójának következtében) minden esete tétele a metaelméletnek. Vegyük észre, hogy a T-séma nem más, mint annak az [[arisztotelész]]i elvnek a formális nyelvre vonatkozó megfogalmazása, amely szerint "egy mondat pontosan akkor igaz, ha az, amit állít, a valóságban is úgy van". Tarski a T-séma eseteinek fennállását tekintette az ''igazság'' helyes definíciója kritériumának. |
metanyelvi kijelentést az '''S''' tárgynyelvi mondat T-sémabeli alakjának nevezzük. A T-séma (Tarski igazságdefiníciójának következtében) minden esete tétele a metaelméletnek. Vegyük észre, hogy a T-séma nem más, mint annak az [[arisztotelész]]i elvnek a formális nyelvre vonatkozó megfogalmazása, amely szerint "egy mondat pontosan akkor igaz, ha az, amit állít, a valóságban is úgy van". Tarski a T-séma eseteinek fennállását tekintette az ''igazság'' helyes definíciója kritériumának. |
||
=== Példa === |
=== Példa === |
||
14. sor: | 14. sor: | ||
==Néhány metatétel== |
==Néhány metatétel== |
||
'''Tétel''' – ''Tarski nemdefiniálhatósági tétele'' |
'''Tétel''' – ''Tarski nemdefiniálhatósági tétele'' |
||
*Ha a tárgynyelv tartalmazza a [[természetes |
*Ha a tárgynyelv tartalmazza a [[természetes számok]] végtelen struktúráját, akkor levezethető a T-séma egy esetének negációja, azaz létezik olyan '''S''' tárgynyelvi mondat, melyre a következő kijelentés metanyelvi tétel: |
||
:Az ''(S)'' mondat akkor és csak akkor ''igaz'', ha ''nem P'' |
:Az ''(S)'' mondat akkor és csak akkor ''igaz'', ha ''nem P'' |
||
*Ha eközben a metaelmélet ellentmondásmentes, akkor az ''igazság'' definíciója nem szerkeszthető meg. |
*Ha eközben a metaelmélet ellentmondásmentes, akkor az ''igazság'' definíciója nem szerkeszthető meg. |
||
21. sor: | 21. sor: | ||
'''Tétel''' – ''Tarski definiálhatósági tétele'' |
'''Tétel''' – ''Tarski definiálhatósági tétele'' |
||
*Ha a tárgynyelv nem tartalmazza a természetes számok végtelen struktúráját, akkor a T-séma minden esete levezethető, és az ''igazság fogalma'' ellentmondásmentes metaelmélet esetén is megszerkeszthető. |
*Ha a tárgynyelv nem tartalmazza a természetes számok végtelen struktúráját, akkor a T-séma minden esete levezethető, és az ''igazság fogalma'' ellentmondásmentes metaelmélet esetén is megszerkeszthető. |
||
Ez pedig a hazug paradoxonának feloldása a legegyszerűbb tárgyelméletek esetén. |
Ez pedig a hazug paradoxonának feloldása a legegyszerűbb tárgyelméletek esetén. |
||
Messzemenő párhuzamot vélhetünk felfedezni [[Kurt Gödel|Gödel]] első nemteljességi tétele és a nemdefiniálhatósági tétel között. A negatív eredményt mindkét esetben a hazug paradoxonának [[antinómia]]ként való fellépése okozza. |
Messzemenő párhuzamot vélhetünk felfedezni [[Kurt Gödel|Gödel]] első nemteljességi tétele és a nemdefiniálhatósági tétel között. A negatív eredményt mindkét esetben a hazug paradoxonának [[antinómia]]ként való fellépése okozza. |
A lap 2013. december 17., 21:53-kori változata
A filozófiai logikában a Tarski-féle T-séma egy alapvető következménye a formális nyelvi (szimbolikus logikai) mondatatok Tarski-féle igazságdefiníciójának. Az igaz mondat definícióját Tarski a Az igazság fogalma a formális nyelvekben (1933) című tanulmányában közölte és ennek a cikknek a megjelenését tekintjük a modern modellelméleti szemantika megszületésének.
Definíció
Tekintsünk egy L elsőrendű formális nyelvet. Az a nyelv, amelyben vizsgálat tárgyává tesszük az L nyelvet, az M metanyelv. A metanyelv segítségével fogalmazzuk meg, hogy mit tekintünk L-ben értelmes mondatnak, axiómának, levezethető mondatnak stb. A metanyelvnek mindent "kell tudnia", amit az L nyelv tud, ellenkező esetben nem lenne "magyarázó közeg" a formális nyelv számára. Ebben a kontextusban az L nyelvet tárgynyelvnek nevezzük. A tárgynyelv minden egyes S mondatának van egy metanyelvi P fordítása, mely úgy tekinthető, mint "az a kijelentés, amit S tartalmilag állít". Továbbá az S mondatra mint szimbólumsorra lehet hivatkozni a metanyelvben: az (S) metanyelvi kifejezés úgy tekinthető, mint az "a tárgynyelv S mondata" hivatkozás. Tarski mutatott egy módszert, mely segítségével definiálható a tárgynyelvi mondatok igazságának fogalma. (A definíció hozzávetőlegesen megegyezik azzal, amit a logikai szemantikában interpretáció szerinti igazságnak nevezünk, azzal a különbséggel, hogy az interpretáció alaphalmazát a metanyelv objektumai alkotják.) Ekkor minden S tárgynyelvi mondat esetén a
- Az (S) mondat akkor és csak akkor igaz, ha P
metanyelvi kijelentést az S tárgynyelvi mondat T-sémabeli alakjának nevezzük. A T-séma (Tarski igazságdefiníciójának következtében) minden esete tétele a metaelméletnek. Vegyük észre, hogy a T-séma nem más, mint annak az arisztotelészi elvnek a formális nyelvre vonatkozó megfogalmazása, amely szerint "egy mondat pontosan akkor igaz, ha az, amit állít, a valóságban is úgy van". Tarski a T-séma eseteinek fennállását tekintette az igazság helyes definíciója kritériumának.
Példa
Legyen L a német nyelv mint tárgynyelv, M a magyar nyelv mint metanyelv, legyen továbbá az S mondat a következő: Der Schnee ist weiß („A hó fehér”). Ekkor az S mondatot a T-sémába helyettesítve tételt kapunk:
- Az „Az a német mondat, hogy »Der Schnee ist weiß«, akkor és csak akkor igaz, ha a hó fehér.” mondat tétele a metaelméletnek.
Néhány metatétel
Tétel – Tarski nemdefiniálhatósági tétele
- Ha a tárgynyelv tartalmazza a természetes számok végtelen struktúráját, akkor levezethető a T-séma egy esetének negációja, azaz létezik olyan S tárgynyelvi mondat, melyre a következő kijelentés metanyelvi tétel:
- Az (S) mondat akkor és csak akkor igaz, ha nem P
- Ha eközben a metaelmélet ellentmondásmentes, akkor az igazság definíciója nem szerkeszthető meg.
Vegyük észre, hogy az első esetben megjelenő paradox jelentésű tétel nem más, mint a hazug paradoxona a formális nyelvben.
Tétel – Tarski definiálhatósági tétele
- Ha a tárgynyelv nem tartalmazza a természetes számok végtelen struktúráját, akkor a T-séma minden esete levezethető, és az igazság fogalma ellentmondásmentes metaelmélet esetén is megszerkeszthető.
Ez pedig a hazug paradoxonának feloldása a legegyszerűbb tárgyelméletek esetén.
Messzemenő párhuzamot vélhetünk felfedezni Gödel első nemteljességi tétele és a nemdefiniálhatósági tétel között. A negatív eredményt mindkét esetben a hazug paradoxonának antinómiaként való fellépése okozza.
Felhasznált irodalom
- Alfred Tarski, Az igazság fogalma a formális nyelvekben (1933), in: Alfred Tarski: Bizonyítás és igazság – válogatott tanulmányok, szerk.: Ruzsa Imre, Gondolat Kiadó, 1990