„Csoporthatás” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
12. sor: | 12. sor: | ||
halmazt értjük. Ha ''y'' rajta van ''x'' pályáján, azaz |
halmazt értjük. Ha ''y'' rajta van ''x'' pályáján, azaz |
||
:<math>y=g\,x</math>, akkor |
:<math>y=g\,x</math>, akkor |
||
:<math>x=g^{-1}\, |
:<math>x=g^{-1}\,y</math>, tehát ''x'' is rajta van ''y'' pályáján. |
||
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha ''y'' rajta van ''x'', és ''z'' rajta van ''y'' pályáján, akkor ''z'' rajta van ''x'' pályáján. Figyelembe véve, hogy az egységelem mindent sajátmagába visz, ezek alapján kijelenthetjük, hogy ''X''-et partícionálják a G általi pályák. |
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha ''y'' rajta van ''x'', és ''z'' rajta van ''y'' pályáján, akkor ''z'' rajta van ''x'' pályáján. Figyelembe véve, hogy az egységelem mindent sajátmagába visz, ezek alapján kijelenthetjük, hogy ''X''-et partícionálják a G általi pályák. |
||
A lap 2013. október 23., 16:58-kori változata
A matematikában általában azt mondjuk, hogy egy csoport hat egy téren vagy halmazon, ha a ható csoport megfeleltethető a halmaz transzformációinak valamely részcsoportjával. A csoporthatások egy objektum szimmetriáinak a vizsgálatanak igen hatékony segédeszközéül szolgálnak, ugyanakkor a struktúrák invariánsainak a megkeresésében is kapóra jöhetnek, mint például bizonyos topológikus terek fundamentális csoportjának a kiszámításakor.
Definíció
G csoport (balról) hat X halmazon, ha G minden eleme egy
- bijekció.
G egységeleme X-en az identitás:
Teljesül az alábbi asszociativitás:
Pálya és stabilizátor
Ha G hat X-en, akkor valamely X-beli x pont pályáján, avagy orbitján
halmazt értjük. Ha y rajta van x pályáján, azaz
- , akkor
- , tehát x is rajta van y pályáján.
Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha y rajta van x, és z rajta van y pályáján, akkor z rajta van x pályáján. Figyelembe véve, hogy az egységelem mindent sajátmagába visz, ezek alapján kijelenthetjük, hogy X-et partícionálják a G általi pályák.
Egy X-beli x pont stabilizátorának G azon elemeinek halmazát nevezzük, amelyek x-et fixen hagyják. Nyilvánvaló, hogy tetszőleges x pont stabilizátora részcsoportja G-nek. Tekintsük baloldali mellékosztályait. Legyen , ekkor
Így bármely mellékosztályának tetszőleges két eleme x-et ugyanoda viszi. Most tegyük fel, hogy
- .
Ekkor legyen:
- . Így
- ,
tehát benne van x stabilizátorában, és
- , azaz
- .
Így x stabilizátorának minden mellékosztálya x pályájának egy elemének az ősképe. Ebből következik, hogy indexe x pályájának az elemszáma. Ezt beírva Lagrange tételébe, kapjuk a következő, pálya-stabilizátor tétel néven ismert azonosságot:
- .
Ha két pont stabilizátora konjugált, akkor azt mondjuk, hogy hasonló a pályájuk.
Burnside-lemma
A pálya-stabilizátor tétel hasznos következménye a Burnside-lemma. Ha G csoport hat X halmazon, akkor a csoportbéli transzformációk fixpontjainak az összegét kiszámolhatjuk úgy is, hogy minden pontnál megszámoljuk, hogy hány transzformációnak a fixpontja. Jelölje P a G általi pályák halmazát:
Ezt rendezve kapjuk a Burnside-lemmát:
- ,
ami a bevezetésben foglaltak szerint azt jelenti, hogy egy csoporthatás transzformációi fixpontjainak az átlagos száma éppen a csoport általi pályák száma.
Forrás
Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK