„Inverzió (matematika)” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

VizuálisWikiszöveges

Sorban

A lap 2013. október 17., 19:42-kori változata

Az inverzió geometriai transzformáció, ami nem hasonlósági transzformáció, de az érintkezést megtartja.

Legyen kijelölve egy $G$ gömb az $E$ euklideszi térben; középpontját jelölje $O$ , sugarát $r$ . A $G$ gömbre vonatkozó inverzióban az $x$ pont képe megadható vektorosan: ${\frac {xr^{2}}{|x|^{2}}}.$ Másként: $x$ képe az a pont, ami az $Ox$ félegyenesen van, és a középponttól mért távolsága $r^{2}/|x|.$ Ekkor $G$ az inverzió alapgömbje. A $O$ pont az inverzió középpontja vagy pólusa, $r^{2}$ az inverzió hatványa.

Tulajdonságai

Négyzete az identitás.
Fixpontjai az alapgömbjének pontjai.
- A középpontján átmenő hipersíkokat és az alapgömböt merőlegesen metsző gömböket önmagukba viszi.
Megcseréli az alapgömb belsejét és külsejét.
Nincs értelmezve a középpontjában. A végtelen távoli ponttal bővített térben a középpont a végtelenbe képződik.
Gömb vagy hipersík képe gömb vagy hipersík.
Szögtartó, érintkezéstartó a gömbök és hipersíkok körében.
Az alacsonyabb dimenziós gömbök és alterek körében is szögtartó és érintkezéstartó.
- A középpontban érintkező gömbök és hipersíkok képei párhuzamos hipersíkok.
A metsző altérre vett leszűkítése is inverzió. Ennek alapgömbje az inverzió alapgömbjéből kimetszett alacsonyabb dimenziós gömb.
Irányításváltó.

A komplex számsíkon

A síkbeli inverzió tekinthető a komplex számokon értelmezett függvénynek. Különösen egyszerűen lehet tárgyalni az egységkörre vett inverziót:

A $z$ komplex szám inverze $w={\frac {1}{\bar {z}}}.$

Így bizonyíthatók a síkbeli inverzió következő tulajdonságai:

A középponton átmenő kör középponton át nem menő egyenesre képeződik
Annak a körnek a képe, ami nem megy át a középponton, a középponton át nem menő kör
Az inverzió nem reguláris függvény, mert megváltoztatja az irányítást. Másként: nem reguláris, mert előáll az $1/z$ és a konjugálás kompozíciójaként, és a konjugálás nem reguláris.

Források

Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek – inverzió értelmezése magasabb dimenzióban is
Halász Gábor: Komplex függvénytan – az egységkörre vett inverzió a komplex számsíkon
Reiman István: Geometria és határterületei – inverzió a komplex síkon tulajdonságokkal

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 Az '''inverzió''' geometriai transzformáció, ami nem [[hasonlósági transzformáció]], de az érintkezést megtartja.
-Legyen kijelölve egy <math>G</math> [[gömb]] az <math>E</math> euklidészi térben; középpontját jelölje <math>O</math>, sugarát <math>r</math>. A <math>G</math> gömbre vonatkozó inverzióban az <math>x</math> pont képe megadható [[vektor]]osan: <math>\frac{xr^2}{|x|^2}.</math> Másként: <math>x</math> képe az a pont, ami az <math>Ox</math> félegyenesen van, és a középponttól mért távolsága <math>r^2/|x|.</math>
+Legyen kijelölve egy <math>G</math> [[gömb]] az <math>E</math> euklideszi térben; középpontját jelölje <math>O</math>, sugarát <math>r</math>. A <math>G</math> gömbre vonatkozó inverzióban az <math>x</math> pont képe megadható [[vektor]]osan: <math>\frac{xr^2}{|x|^2}.</math> Másként: <math>x</math> képe az a pont, ami az <math>Ox</math> félegyenesen van, és a középponttól mért távolsága <math>r^2/|x|.</math>
 Ekkor <math>G</math> az inverzió alapgömbje. A <math>O</math> pont az inverzió középpontja vagy pólusa, <math>r^2</math> az inverzió hatványa.