A [[matematika|matematikában]] a '''kvaterniók''' a [[komplex számok]] négy [[dimenzió]]ra történő nem kommutatív kiterjesztései. Először [[William Rowan Hamilton|Sir William Rowan Hamilton]] [[Írország|ír]] [[matematikus]], [[fizikus]] és [[csillagász]] vezette be [[1843]]-ban (Hamilton-féle számoknak is nevezik).
A [[matematika|matematikában]] a '''kvaterniók''' a [[komplex számok]] négy [[dimenzió]]ra történő nem kommutatív kiterjesztései. Először [[William Rowan Hamilton|Sir William Rowan Hamilton]] [[Írország|ír]] [[matematikus]], [[fizikus]] és [[csillagász]] vezette be [[1843]]-ban (Hamilton-féle számoknak is nevezik). (KUKI)
Hasonlóan ahhoz, ahogy a komplex számokat a valós számkör i-vel való kiegészítésével kaptuk, ahol i kielégíti az i2 = −1 egyenlőséget, a kvaterniókat az i, j és k elemek a valós számkörhöz való hozzáadásával nyerjük, ahol i, j és k megfelel a következőknek:
Ha a szorzást asszociatívnak tekintjük (és valóban az is), a következő egyenlőségek állnak fenn:
Minden kvaternió felírható a báziskvaterniók (1, i, j és k) lineáris kombinációjaként, azaz minden kvaternió egyértelműen kifejezhető a + bi + cj + dk alakban, ahol a, b, c és d valós számok.
Halmazelméleti definíció
=(a, b, c, d) 4
Halmazelméleti szempontból a kvaterniók a komplex számok önmagukkal vett direktszorzataként értelmezhetők, a következő összeadási és szorzási szabályokkal:
(a, b, c, d)+(A, B, C, D) = (a+A, b+B, c+C, d+D)
Szorzásukat egyszerűbb kifejezni az alábbi jelölésekkel: (a, b, c, d) = (a, v), ahol a egy valós szám, v egy három dimenziós vektor, valamint v*V skalár, v x V vektoriális szorzat. Ekkor (a, v) * (A, V) = (a*A-v*V, a*V + A*V + v x V)
Ezeknek a mátrixoknak mindig a determinánsa, amiből már következik a nullosztómentesség, hiszen a mátrixok gyűrűjében a nullosztók determinánsa nulla, itt pedig az összes nem nulla mátrix determinánsa pozitív. A műveletek asszociativitása a mátrixműveletek asszociativitásából következik. Az szorzására vonatkozó szabályok egyszerű számolással igazolhatók.
A kvaterniók másként is ábrázolhatók a komplex számok fölötti -es mátrixok gyűrűjében, de az összes többi lehetőség konjugált a már leírt változathoz.
Hányadosalgebra
Az absztrakt algebra lehetőséget ad a kvaterniók hányadosalgebraként történő definiálására. Eszerint a kvaterniók előállnak a három határozatlanú polinomok nem kommutatív gyűrűjének a Hamilton-szorzásszabályok alkotta ideállal vett faktoraként.
Egy másik módszerhez elég két határozatlan. Ekkor a kvaterniók algebrája az által generált két dimenziós euklidészi sík Clifford-algebrájaként áll elő.
A Clifford-algebrák egységelemes asszociatív algebrák, amiket egy kvadratikus alakkal ellátott vektortér generál. A Cℓ(V,Q) Clifford-algebra a legszabadabb algebra azzal a kikötéssel, hogy:
A három dimenziós forgatásokkal való összefüggésben fontos szerephez jut az, hogy a kvaterniók algebrája az által generált euklidészi tér Clifford-algebrájának páros részének tekinthető.
Alapműveletek
Valós és képzetes rész
Az
kvaternió valós része:
míg a többi koordináta a képzetes részhez tartozik:
A képzetes részt gyakran a valós három dimenziós vektorok vektorterével azonosítják:
.
Ha az kvaterniókat a valós skalárból és a három dimenziós vektorból álló párokkal azonosítjuk:
, ahol és ,
akkor a szorzás felírható így:
A valós számok azonosíthatók azokkal a kvaterniókkal, amiknek képzetes része a nullvektor.
Azokat a kvaterniókat, amiknek a valós része nulla, tiszta, vagy tisztán képzetes kvaternióknak nevezik. Ezek éppen azok a kvaterniók, aminek négyzete valós, és nem pozitív. A tisztán képzetes kvaterniók halmaza:
Ez egy három dimenziós vektortér, aminek egy bázisa .
Két tiszta képzetes kvaternió szorzatában a valós rész a tisztán képzetes kvaterniók skaláris szorzatának mínusz egyszerese; a képzetes rész a tisztán képzetes kvaterniók vektoriális szorzataként előálló tisztán képzetes kvaternió:
Konjugálás és norma
Egy kvaternió konjugáltjában a valós rész ugyanaz, a képzetes rész ellentett:
A konjugált másként is kifejezhető:
A konjugálás legfontosabb tulajdonságai:
, a konjugált konjugáltja az eredeti kvaternió
és minden valós λ számra, vagyis a konjugálás lineáris leképezés fölött
, az vektorok normája mindig valós, és sohasem negatív
Ezt a mennyiséget az kvaternió normájának is nevezik.
Erre a normára teljesül az
összefüggés, így ezzel a normával a kvaterniók Banach-algebrát alkotnak.
Ahogy a komplex számoknál, úgy a kvaternióknál is megadható a valós és a képzetes rész a konjugálás segítségével:
a valós rész;
a képzetes rész.
Ha egy kvaternió megegyezik a konjugáltjával, akkor valós. Ha a konjugálás ellentettjére változtatja, akkor tisztán képzetes.
A norma kifejezhető a konjugálással:
Invertálás
Az kvaternió inverze az az x−1 kvaternió, amivel
és
Mivel a szorzás nem kommutatív, azért kétféle osztás definiálható:
és
amik rendre a
és az
egyenleteket oldják meg.
A két egyenlet megoldása akkor és csak akkor egyezik meg, ha a valós, mert csak a valósok cserélhetők fel az összes kvaternióval. Az absztrakt algebra nyelvén úgy mondjuk, hogy a kvaterniók ferdetestének centruma a valós számok halmaza. Így a kifejezésbe hallgatólagosan beleértjük, hogy a valós.
Ezen kívül teljesül
ugyanis
és
Ezzel egy kvaternió inverze
mivelhogy
valós, és , ezért ez a kifejezés tört alakban is írható:
Egységkvaterniók
Az egységkvaterniók az 1 normájú kvaterniók. Az 1 abszolútértékű komplex számokhoz hasonlóan
Tetszőleges kvaternióra
az x kvaternióval megegyező irányú egységkvaternió.
Egységkvaternió inverze újra egységkvaternió.
Két egységkvaternió szorzata megint egységkvaternió. A szorzás asszociativitása miatt az egységkvaterniók csoportot alkotnak a szorzásra.
Az
:
kvaterniók szintén egységkvaterniók. Részcsoportot alkotnak az egységkvaterniók csoportjában, az úgynevezett kvaterniócsoportot.
A Lie-csoport olyan csoport, ami a szorzáson és az invertáláson kívül még egy topológiával is el van látva, amire nézve az előbbi műveletek folytonosak.
Az egységkvateriók halmaza egy három dimenziós gömbfelszín a négy dimenziós térben, ami ezzel Lie-csoporttá válik. A hozzá tartozó Lie-algebra a tiszta kvaterniók tere. A mátrixos ábrázolásban az egységkvaterniók csoportját éppen az SU(2) speciális unitér csoport ábrázolja. Ez megmagyarázza a kapcsolatot a Pauli-mátrixokkal.
A tiszta egységkvaterniók éppen azok a kvaterniók, amiknek négyzete -1:
Geometriailag a tiszta egységkvaterniók egy két dimenziós gömbfelszínt alkotnak a három dimenziós térben. Minden kvaternió, aminek a négyzete, definiálja a komplex számok egy beágyazását:
De ez csak egy beágyazás. A kvaterniók nem alkotnak algebrát a komplex számok fölött.
Trigonometrikus alak
Ahogy a komplex számok,
úgy a kvateriók is leírhatók trigonometrikus alakban.
Az egységkvaterniók elegáns módot kínálnak a forgatások leírására a három dimenziós térben: rögzített q kvaternióra a
leképezés forgatás -ben.
Ha trigonometrikus alakba írjuk a q kvaterniót:
ahol , és tiszta egységkvaternió,
akkor a forgatás szöge , és tengelye .
Minden q egységkvaternió ugyanazt a forgatást definiálja, mint -q; például 1 és -1 is az identitásnak felel meg. Tehát az ortogonális mátrixokkal ellenben ez a megfeleltetés nem egy-egyértelmű: minden R forgatáshoz két egységkvaternió van, amire .
Forgatások egymásutánja, más néven szorzata az egységkvaterniók szorzásának felel meg:
A forgásirány megfordítása a konjugálás megfelelője:
ami az egységkvaterniók körében ugyanaz, mint az invertálás.
Mindezek miatt ez a leképezés homomorfizmus, de nem izomorfizmus.
Kapcsolat az ortogonális mátrixokkal
A egységkvaterniónak megfelelő ortogonális mátrix
A mátrixból a kvaterniók meghatározásához elég a forgatás tengelyét és szögét megadni, és a trigonometrikus képletbe behelyettesíteni.
Kapcsolat az Euler-szögekkel
Az Euler-szögekre különféle konvenciók vannak. Itt azokat a forgatásokat tekintjük, amik megkaphatók úgy, hogy először a z tengely körül , utána az új x tengely körül , végül az új z tengely körül szöggel forgatva kapunk. Az egyes forgatások rendre a
kvaternióknak felelnek meg.
Mivel az elforgatott tengelyt forgatjuk, a szorzás sorrendje fordított:
Hasonlók adódnak más konvenciók esetén is.
A forgáscsoport univerzális fedése
Az leképezés művelettartó (homomorfizmus) az egységkvaterniók csoportjából az SO(3) forgatáscsoportba; az egységkvaterniókat azonosítva az generátoraival egy
homomorfizmust kapunk.
Ez egy kétrétegű fedés, aminek magja a centrum. A fedés univerzális, hiszen egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és -mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az → leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, i, j és k az SU(2) három hermitikus generáló mátrixának, a Pauli-mátrixoknak felel meg:
, ,
Így függ össze a két alaptétel:
i = σx/i , j = σy/i és k = σz/i
ahol i a komplex képzetes egység, így az elméleti fizikából ismert σxσy= i σz kapcsolat éppen az i j = k relációnak felel meg. A σ-mátrixok hermitikus voltuk miatt mérhető mennyiségekként jöhetnek szóba a kvantummechanikában, ellentétben a i, j és a k báziskvaterniókkal, ami fontos a kvantummechanika matematikai modellezésében. Közelebbről , aminek valós vektorkoordinátái αx, αy és αz. Az 1/2 szorzónak többek között az a hatása,hogy a spinorok a vektorokkal ellentétben nem kerülnek vissza alaphelyzetükbe 2 π -vel (=360 fokkal) elforgatva, hanem csak annak kétszerese után.
A négy dimenziós tér ortogonális leképezései
A három dimenziós esethez hasonlóan minden irányítástartó hasonlósági transzformációja felírható, mint:
az egységkvaterniókkal.
Teljesül, hogy:
Ez a konstrukció fedést ad:
aminek magja .
A kvaterniók algebrája
Izomorfia erejéig három véges dimenziós asszociatív algebra van a valós számok felett: saját maga, algebrai lezártja, és a felette vett kvaterniók.[1]
centruma , ezért definiálható rajta redukált norma és redukált nyom:
és
A valós számokról a komplex számokra áttérve a kvaterniók algebrája mátrixalgebrává válik:
A tenzorszorzat faktorra vett komplex konjugáció involúciót szolgáltat a mátrixalgebrában, aminek invariánsai egy -val izomorf algebrát alkotnak.
Az
ahol az
involúció megfelel a kvaterniók fenti mátrixmodelljének.
A kvaterniók algebrája egy negatív definit szimmetrikus kvadratikus alakkal ellátott Clifford-algebrájának tekinthető.
Alkalmazásai
A kvaterniók legfontosabb haszna, hogy a tisztán képzetes (azaz a valós része, az 'a' komponens 0) számokkal leírható a három dimenziós vektortér.
A kvaterniókat a háromdimenziós mozgásokkal való szoros kapcsolata miatt felhasználják robotok vezérlésénél.
Négynégyzetszám-tétel
Legyen
és
Az
egyenlőségből adódik a tisztán valós azonosság:
Ha az összes szám egész, akkor ez az egyenlőség azt állítja, hogy két, négy négyzetszám összegeként felírható szám szorzata szintén felírható négy négyzetszám összegeként.
A négynégyzetszám-tétel szerint minden természetes szám felírható négy négyzetszám összegeként. Az előző állítás szerint elég a tételt a prímszámokra belátni. Ez alapján ezt az utóbbit is nevezik négynégyzetszám-tételnek.
Rokon témák
A kvaterniókhoz hasonló konstrukciókat hiperkomplex számoknak is nevezik. A Cayley-számok a kvaterniók nyolc dimenziós analogonjai. Az ő körükben szorzás se nem kommutatív, se nem asszociatív. A Cayley-számok szorzása alternatív:
és minden a, b Cayley-számra.
Források
↑Corollary 6.8 in Chapter iX von Hungerford: Algebra (Springer 1974)