„Kivonás” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a Bottal végzett egyértelműsítés: Szakasz –> szakasz (geometria) |
a Bot: interwikik eltávolítása (Wikidata) |
||
76. sor: | 76. sor: | ||
[[Kategória:Számelmélet]] |
[[Kategória:Számelmélet]] |
||
[[Kategória:Elemi matematika]] |
[[Kategória:Elemi matematika]] |
||
[[en:Subtraction]] |
|||
[[als:Subtraktion]] |
|||
[[an:Resta]] |
|||
[[ar:طرح]] |
|||
[[arz:طرح]] |
|||
[[ay:Jakhuqawi]] |
|||
[[az:Çıxma]] |
|||
[[be:Адніманне]] |
|||
[[be-x-old:Адыманьне]] |
|||
[[bg:Изваждане]] |
|||
[[br:Lamadur]] |
|||
[[ca:Resta]] |
|||
[[ckb:لێدەرکردن]] |
|||
[[cs:Odčítání]] |
|||
[[da:Subtraktion]] |
|||
[[de:Subtraktion]] |
|||
[[el:Αφαίρεση]] |
|||
[[eo:Subtraho]] |
|||
[[es:Resta]] |
|||
[[et:Lahutamine]] |
|||
[[eu:Kenketa]] |
|||
[[fa:تفریق]] |
|||
[[fi:Vähennyslasku]] |
|||
[[fr:Soustraction]] |
|||
[[gan:減法]] |
|||
[[gd:Toirt air falbh]] |
|||
[[gl:Subtracción]] |
|||
[[he:חיסור]] |
|||
[[hi:घटाना]] |
|||
[[hr:Oduzimanje]] |
|||
[[id:Perkurangan]] |
|||
[[is:Frádráttur]] |
|||
[[it:Sottrazione]] |
|||
[[ja:減法]] |
|||
[[jv:Pangurangan]] |
|||
[[kn:ವ್ಯವಕಲನ]] |
|||
[[ko:뺄셈]] |
|||
[[la:Subtractio]] |
|||
[[lt:Atimtis]] |
|||
[[lv:Atņemšana]] |
|||
[[mk:Одземање]] |
|||
[[ml:വ്യവകലനം]] |
|||
[[nl:Aftrekken (wiskunde)]] |
|||
[[nn:Subtraksjon]] |
|||
[[no:Subtraksjon]] |
|||
[[nov:Subtraktione]] |
|||
[[pl:Odejmowanie]] |
|||
[[pms:Sotrassion]] |
|||
[[pt:Subtração]] |
|||
[[qu:Qichuy]] |
|||
[[ro:Scădere]] |
|||
[[ru:Вычитание]] |
|||
[[scn:Suttrazzioni]] |
|||
[[simple:Subtraction]] |
|||
[[sk:Odčítanie]] |
|||
[[sl:Odštevanje]] |
|||
[[sn:Kubvisa]] |
|||
[[sr:Одузимање]] |
|||
[[sv:Subtraktion]] |
|||
[[ta:கழித்தல் (கணிதம்)]] |
|||
[[te:తీసివేత]] |
|||
[[th:การลบ]] |
|||
[[tl:Pagbabawas]] |
|||
[[tr:Çıkarma]] |
|||
[[uk:Віднімання]] |
|||
[[ur:استنزال]] |
|||
[[vec:Sotra]] |
|||
[[vi:Phép trừ]] |
|||
[[war:Pag-iban-iban]] |
|||
[[yi:אראפנעם]] |
|||
[[yo:Ìyọkúrò]] |
|||
[[zh:減法]] |
A lap 2013. március 8., 20:12-kori változata
A kivonás a számtani alapműveletek egyike. Az összeadás megfordítása. Ez azt jelenti, hogy ha az a számhoz hozzáadjuk a b számot, majd az összegből kivonjuk a b számot, akkor visszakapjuk az a számot. A kivonás jele a - mínusz jel.
A c − b = a kivonásban c a kisebbítendő, b a kivonandó, és a a különbség.
A matematikában gyakran hasznos a kivonást egyfajta összeadásnak tekinteni, és az összeadással együtt összevonásról beszélni. A kivonás ugyanis felfogható az ellentett hozzáadásaként. Így alkalmazhatók az összeadás tulajdonságai.
Hagyományos tárgyalásban a kivonás
- nem kommutatív, hanem antikommutatív
- nem asszociatív
A szorzás disztributív a kivonásra. Az osztás jobbról disztributív a kivonásra.
A kivonás többféleképpen is bevezethető:
1. Tárgyak egy halmazából elveszünk egy adott számú elemet. Például 5 barackból elveszünk 2 barackot, marad 3 barack. (természetes számok)
2. Egy adott mértékű halmazból elveszünk egy adott mennyiséget ugyanabban a mértékegységben mérve. Például kimérünk 200 grammot, és elveszünk belőle 10 grammot, akkor marad 190 gramm. (pozitív számok)
3. Két mennyiség összehasonlítása. Például 800 Ft és 600 Ft különbsége 800 Ft − 600 Ft = 200 Ft. (valós számok)
A kivonás és az egész számok bevezetése
Vegyünk egy szakaszt, aminek kiindulópontja a, és hossza b. Jelöljük a szakasz másik végpontját c-vel. Az a pontból kiindulva b lépéssel érünk c-be:
- a + b = c.
A c pontból b lépést kell visszamenni, hogy a-ba jussunk:
- c − b = a.
A természetes számok nem zártak a kivonásra: ha egy kisebb számból akarunk kivonni egy nagyobbat, akkor nem kapunk eredményt a természetes számok halmazán. Ahhoz, hogy bármely kivonást el lehessen végezni, a számkört bővíteni kell a negatív számokkal, és ha a pozitív egészeket vettük a természetes számoknak, akkor a 0 számot is hozzá kell venni az eddigi számkörhöz. Ezzel az egész számokhoz jutunk.
Tekintsük az egész számok számegyenesét:
(…, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, …)
Innen a 3-ból 4-et lépve vissza a -1-hez jutunk:
- 3 ‒ 4 = ‒1.
Algoritmusok
Többféle kivonási algoritmus létezik. Többféle módszert alkalmaznak a kézi számításokhoz.
Egy elterjedt módszer szerint az aj aj‒1 … a0 kisebbítendőből így vonják ki a bk bk‒1 … b0 kivonandót:
Minden egyes i-re az ai jegyből kivonják a megfelelő bi-t. Ha ai kisebb, mint bi, akkor ai-t megnövelik tízzel, és a következő nagyobb helyiértékű jegyet: az amerikai módszer szerint a kisebbítendő jegyét csökkentik eggyel, az európai módszer szerint a kivonandó jegyét növelik eggyel.
Példa
Az 704 − 512 kivonásban 704 a kisebbítendő, és 512 a kivonandó. A kisebbítendő jegyei a2=7, a1=0, a0=4. A kivonandó jegyei b2=5, b1=1, b0=2. Az egyesektől kezdve 4 nem kisebb 2-nél, ezért 4-2=2 lesz a különbség utolsó jegye. A tízesek helyén 0 kisebb, mint 1, ezért a 0 jegyhez hozzáadunk 10-et; így 10-1=9 lesz a különbség tízes helyiértékű jegye.
Az amerikai módszer eggyel csökkenti a kisebbítendő következő jegyét, tehát áthúzza a 7-et, és 6-ot ír. A kivonás a százas helyiértéken folytatódik. A 6 nem kisebb, mint 5, ezért 6-5=1 lesz a különbség százas helyi értékű jegye. A kisebbítendőnek nincs több jegye, ezért a kivonás véget ér. A különbség eszerint 192.
Az Európában is alkalmazott ausztrál módszer egyet ad hozzá a kivonandó következő jegyéhez. Ezt a jegyet meg is jelöli egy kis jellel. A kivonás következő lépésében az a kérdés, hogy melyik számhoz kell hozzáadni 5-öt és még egyet, hogy 7-et kapjunk. A válasz 1, és ez lesz a különbség száz helyi értékű jegye.
Számítógépek
Egész számok között nincs igazi különbség az összeadás és a kivonás között, mivel általában a számítógépek kettes komplemensben ábrázolják a negatív számokat, így a kivonás gyakorlatilag túlcsordulásos összeadás.
Lebegőpontos számokon a számítógép kivonási módszere az ellentett hozzáadásán alapul. A lebegőpontos számokkal pontosan elvégzi a műveletet, majd a különbséghez hozzárendeli a legközelebbi lebegőpontos számot.
Az azonos előjelű számok kivonásának speciális hibája a vészes kiegyszerűsödés.[1] Ennek az az oka, hogy a keretből kicsúszott jegyeket azonnal elfelejti. Az értékes számjegyek eltűnnek; ezzel döntő információ veszhet el. Ez a hiba leginkább akkor jelentkezik, ha a különbség kicsi. A számítógép akár egy egész nagyságrendet is tévedhet. A vészes kiegyszerűsödés miatt a kivonás nagyon rosszul kondicionált, inkorrekt művelet.
A vészes kiegyszerűsödés ellen tartalék számjegyekkel lehet védekezni.
Források
- ↑ Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1
- Browell, W. A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.
- Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1 (original publication) and Vol. 10, No. 1 (reprint.) http://math.coe.uga.edu/TME/Issues/v10n2/5ross.pdf
Külső hivatkozások
Printable Worksheets: One Digit Subtraction, Two Digit Subtraction, and Four Digit Subtraction