Banach–Tarski-paradoxon

A Banach–Tarski-paradoxon „szemléltetése”. Egy gömböt fel lehet darabolni olyan darabokra, hogy abból két, ugyanakkora gömb rakható össze

A (Hausdorff–)Banach–Tarski-paradoxon egy bizonyított matematikai tétel, mely szerint egy 3 dimenziós, tömör gömböt a kiválasztási axióma felhasználásával fel lehet vágni véges sok olyan (nem mérhető) darabra, amelyekből két, az eredeti gömbbel megegyező méretű tömör gömböt lehet összeállítani.

A paradoxont Stefan Banach és Alfred Tarski bizonyította be 1924-ben. Banach és Tarski ezt a bizonyítást annak szemléltetésére szánta, hogy a kiválasztási axióma helytelen. Ma azonban a matematikusok a bizonyítást helyesnek fogadják el, és nem az axiómát vetik el, hanem az eredményt elfogadják és érvényes tételként jegyzik. Így ez a bizonyítás csupán egy antiintuitív eredményt ad, és az intuíciónk tévedhetőségét illusztrálja.

A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy ami paradoxnak tűnik, az az, hogy a két gömb térfogata kétszer akkora, mint az egy gömb térfogata, az átdarabolás pedig „normális” esetben térfogattartó. Azonban a tételben szereplő átdarabolás nem mérhető darabokat ad, ez az oka annak, hogy a térfogat a művelet során nem marad meg. Fizikai értelemben nem volna lehetséges ez az átdarabolás, hiszen a valóságban csak mérhető darabokat tudunk létrehozni. (Az anyag kvantumos szerkezete egyébként is lehetetlenné tenné az átdarabolást.) Így tehát senki nem tud meggazdagodni egy aranygömb két aranygömbbé való átdarabolásával a tétel segítségével.

Szabatos leírás

A háromdimenziós euklideszi tér A és B részhalmazát átdarabolhatónak nevezzük, ha felbonthatók diszjunkt részhalmazok egyesítésére: $A=\cup _{i=1}^{n}A_{i}$ és $B=\cup _{i=1}^{n}B_{i}$ olymódon, hogy minden i-re, $A_{i}$ egybevágó $B_{i}$-vel. Ily módon a paradoxon a következőképpen fogalmazható meg:

Az egységgömb átdarabolható két egységgömbbé.

Öt résszel meg lehet ezt tenni, kevesebbel nem. A paradoxonnak van egy erősebb változata:

A 3-dimenziós euklideszi tér bármely két belső ponttal rendelkező, korlátos részhalmaza egymásba átdarabolható.

A bizonyítás vázlata

A bizonyítás négy lépésből áll:

1. A két elemmel generált szabad csoport paradox felbontása.
2. A háromdimenziós tér két olyan, origó körüli forgatásának megadása, amelyek a két elemmel generált szabad csoporttal izomorf csoportot generálnak.
3. Az egységgömb felszínének paradox felbontása (a kiválasztási axióma segítségével).
4. Befejezés: a felszín felbontásának kiterjesztése a tömör gömb paradox felbontásává.

A bizonyítás lépései részletesen:

1. lépés Az a és b által generált szabad csoport álljon az összes véges sztringből (karakterláncból), ami az a, a⁻¹, b és b⁻¹ karakterekből áll, úgy hogy a nincs a⁻¹, és b nincs b⁻¹ mellett. Két ilyen karakterláncot úgy lehet összefűzni, hogy egymás mögé írjuk őket, majd a „tiltott” karaktereket kitöröljük (az egységelemmel helyettesítjük). Pl. abab⁻¹a⁻¹ összefűzve a abab⁻¹a-val abab⁻¹a⁻¹abab⁻¹a-t eredményezi, amiből b⁻¹a⁻¹ab törlése után abaab⁻¹a marad. A karakterláncok ezen halmaza az összefűzés műveletével csoport az üres karakter $e$ egységelemmel. Ezt a csoportot $F_{2}$-nek nevezzük.

A S(a⁻¹) halmaz és a aS(a⁻¹) halmaz a Cayley-gráfján F₂-nek

$F_{2}$-t a következőképpen bontjuk „paradox módon” diszjunkt halmazokra: S(a) legyen az a-val kezdődő sztringek halmaza, és hasonló módon definiáljuk S(a⁻¹), S(b) és S(b⁻¹)-et is. Tehát:

$F_{2}={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})$

Hasonlóan igaz:

$F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a)$, és

$F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b)$.

A a S(a⁻¹) jelentése, hogy minden S(a⁻¹)-beli sztringet balról összefűzünk a-val. Ez a bizonyítás egyik kulcsmomentuma. Most tekintsük a következőt: $F_{2}$-t négy részhalmara osztjuk – S(a), S(a⁻¹), S(b) és S(b⁻¹) – (az $e$ ezekben nincs benne, de ezzel ne foglakozzunk, mert a továbbiakban nem lesz jelentősége), aztán „eltoljuk” S(a⁻¹)-t és S(b⁻¹)-t rendre a-val és b-vel való szorzással, majd képezzük az egyenlőségek szerinti uniókat, azaz elértük hogy a $F_{2}$-t létrehozzuk a 4 részhalmazból kétféleképpen, csupán 2-2 uniójával. Pont ez az, amit a gömbökkel akarunk csinálni.

2. lépés A 3 dimenzióban a $F_{2}$-höz hasonlóan viselkedő (vele izomorf) csoporthoz tekintsük a 3 dimenziós térben 2 egymásra merőleges tengelyt (legyen az x és z tengely) és az ezek körüli – π irracionális többszörösével (pl. arccos(1/3)) való – elforgatásokat, A-t és B-t. (A 2 dimenziós tér túl „szűk” ehhez, mert ott csak egy tengelyt tudunk választani, így csoportunk kommutatív lenne.) Könnyen belátható, hogy A és B pont úgy viselkedik, mint a és b, így az A és B által generált csoport izomorf $F_{2}$-vel. Az A és B forgatások által generált csoportot nevezzük H-nak. Természetesen így már H paradox felbontása is megvan.

3. lépés Az S² egységgömbfelületet a következőképpen bontjuk fel H segítségével: az egységgömb felületének két pontja akkor, és csak akkor tartozik ugyanazon részhez, ha H-nak pontosan egy olyan forgatása van, ami az elsőt a másodikba viszi. Most a kiválasztási axiómát alkalmazva ki tudunk minden részből választani pontosan egy pontot, ezen pontok halmaza legyen M. Így minden S² beli pontot pontosan egyféleképpen tudunk elérni H egy-egy forgatását alkalmazva M elemeire, és ezért H paradox felbontása „továbbadódott” S²-nek.

4. lépés Végül, kössük össze S² felületi pontjait az origóval, így S², azaz az egységgömb felülete helyett az egységgömb mínusz az origó paradox felbontását kapjuk meg. (Azt, hogy a teljes egységgömböt hogyan lehet felbontani, itt nem részletezzük.)

NB.:Ez a vázlat átugrik néhány részlet fölött.

További információk

• Beke Tibor: Hogyan csináljunk aranyat, avagy a Banach-Tarski paradoxonról, Középiskolai Matematikai Lapok, 1989/11
• Laczkovich Miklós: Sejtés és bizonyítás, Typotex, 1998, ISBN 9637546898
• Stan Wagon: The Banach-Tarski Paradox, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 24, 1985.
• Leonard M. Wapner: The pea and the sun, A K Peters, 2005. ISBN 1-56881-213-2