Fibonacci-számok

A Fibonacci-számok a matematikában az egyik legismertebb rekurzív sorozat elemei. Az első két elem 0 és 1, a további elemeket az előző kettő összegeként kapjuk. Képletben:

$F_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}n=0;\\1,&{\mbox{ha }}n=1;\\F_{n-1}+F_{n-2}&{\mbox{ha }}n>1.\end{cases}}$

Fájl:Fibonacci monument.jpg

Fibonacci emlékműve a pisai Dóm-téren

Eredet

A sorozatot először 1150-ben írta le két indiai matematikus, Gopala és Hemacsandra, akik a szanszkrit költészet elméleti kérdéseit vizsgálva ütköztek egy összegre bontási problémába (hányféleképpen lehet rövid és hosszú szótagokkal kitölteni egy adott időtartamot, ha egy hosszú szótag két rövidnek felel meg?). Nyugaton tőlük függetlenül találta meg 1202-ben Fibonacci, aki Liber Abaci (Könyv az abakuszról) című művében egy képzeletbeli nyúlcsalád növekedését adta fel gyakorlófeladatként: hány pár nyúl lesz n hónap múlva, ha feltételezzük, hogy

• az első hónapban csak egyetlen újszülött nyúl-pár van;
• az újszülött nyúl-párok két hónap alatt válnak termékennyé;
• minden termékeny nyúl-pár minden hónapban egy újabb párt szül;
• és a nyulak örökké élnek?

Kepler 1611-es könyvében, a The Six-Cornered Snowflake-ben újra felfedezte, és különféle természeti jelenségekkel hozta kapcsolatba.

A ma használt elnevezést E. Lucastól kapta.

Matematikai definíció

Az n-edik Fibonacci-szám jele $u_{n}$ ($F_{n}$ inkább az ismeretterjesztő irodalomban használatos). A Fibonacci-számok egy lineárisan rekurzív sorozatot alkotnak, (A000045 sorozat az OEIS-ben). Az első néhány Fibonacci szám: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Binet-formula

A szomszédos Fibonacci-számok aránya ($F_{n+1}/F_{n}\,$) $\phi \,$-hez, az aranymetszés értékéhez tart:

$x\,$	$=\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$
	$=\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}+F_{n-1}}{F_{n}}}$
	$=1+\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n-1}}{F_{n}}}$
	$=1+{\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}}}$
	$=1+{\frac {1}{x}}$

azaz

$x^{2}=x+1\,$,

ennek a másodfokú egyenletnek pedig éppen $\phi \,$ és $1-\phi \,$ a megoldásai.

(Valójában ennél több is elmondható: az $F_{n+1}/F_{n}\,$ törtek éppen a $\phi \,$ lánctörtbe fejtésével kapott közelítő törtek.)

Az egyenlet mindkét oldalát $x^{n}$-nel beszorozva a

$x^{n+2}=x^{n+1}+x^{n}\,$

egyenlőséget kapjuk.

Ez azt jelenti, hogy a $n\mapsto \phi ^{n}$ és a $n\mapsto (1-\phi )^{n}$ sorozatok (és minden lineáris kombinációjuk) kielégítik a Fibonacci-rekurziót.

Az együtthatók megfelelő megválasztásával elérhetjük, hogy a helyes $F_{0}=0\,$ és $F_{1}=1\,$ értékeket kapjuk:

$F_{n}={\phi ^{n} \over {\sqrt {5}}}-{(1-\phi )^{n} \over {\sqrt {5}}}$

Az így kapott

$F_{n}={(1+{\sqrt {5}})^{n}-(1-{\sqrt {5}})^{n} \over {\sqrt {5}}\cdot 2^{n}}$

képlet a Fibonacci-számok zárt alakja, ezt nevezzük Binet-formulának.

Ugyanezt a képletet kapjuk a generátorfüggvények módszerével is.

Ha n tart a végtelenhez, a második tag nullához konvergál, azaz a Fibonacci-számok a $\phi ^{n}/{\sqrt {5}}$ sorozathoz tartanak, ebből adódik az arányuk konvergenciája. Mi több, a második tag már kezdetben is olyan kicsi, hogy a Fibonacci-számokat úgy is magkaphatjuk, hogy csak az első tagot számoljuk ki, és kerekítünk a legközelebbi egészre.

A Fibonacci-sorozat leírható lineáris differenciálegyenletek kétdimenziós rendszerével:

${f_{k+2} \choose f_{k+1}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{f_{k+1} \choose f_{k}}$

vagy

${\vec {f}}_{k+1}=A{\vec {f}}_{k}$

Az A mátrix sajátértékei $\phi \,$ és $(1-\phi )\,$, a sajátvektorok pedig ${\phi \choose 1}$ és ${1 \choose -\phi }$.

Általánosítások

A Fibonacci-sorozat kifejezést általánosabb értelemben minden olyan g sorozatra alkalmazzuk, ami a $g_{n+2}=g_{n}+g_{n+1}$ rekurzív képlettel adható meg. Belátható, hogy minden ilyen sorozat átírható $g_{n}=aF_{n}+bF_{n+1}$ alakba, más szóval a Fibonacci-sorozatok egy vektorteret alkotnak az $F_{n}$ és $F_{n+1}$ sorozatokkal mint bázissal.

A Fibonacci-sorozatok további általánosítása a Lucas-sorozatok.

Egy másfajta általánosítás a Fibonacci-polinomok.

Lucas-számok

Az $L_{0}=2$, $L_{1}=1$, $L_{n+2}=L_{n}+L_{n+1}$ Fibonacci-sorozat elemeit Lucas-számoknak nevezzük. Először Euler írta le őket 1748-ban, az Introductio in Analysin Infinitorum c. művében. Jelentőségük, hogy az aranymetszést n-edik hatványra emelve az eredmény ${\frac {L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}}{2}}$ lesz.

Néhány összefüggés a Fibonacci- és a Lucas-számok között:

$L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\$

$F_{n}={\begin{matrix}{\frac {1}{5}}\end{matrix}}(L_{n-1}+L_{n+1})$.

$F_{n+1}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(F_{n}+L_{n})$.

$F_{2n}=F_{n}L_{n}\$

$F_{m+n}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(F_{m}L_{n}+F_{n}L_{m})$.

$F_{m-n}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(-1)^{n}(F_{m}L_{n}-F_{n}L_{m})$.

Polibonacci-számok

A Tribonacci-számokat a Fibonacci-számokhoz hasonlóan számítjuk, de kettő helyett három korábbi elemet adunk össze. (Az első néhány elem: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149...) OEIS számuk A000073. Hasonlóan definiáljuk a tetranacci, pentanacci stb. számokat, de a kutatók nem tartják őket különösebben érdekesnek.

Kiterjesztés a valós számokra

A Binet-formulából kiindulva a Fibonacci-számok kiterjeszthetőek sorozatból valós függvénnyé:

$F_{\nu }={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\nu }-\left({\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}\right)^{\nu }\cos(\nu \pi )\right)$

A Fibonacci-számok valós számokon értelmezett függvénye

Tulajdonságai

Az egyetlen Fibonacci-szám, ami egyben négyzetszám is (a 0-t és az 1-et kivéve) a 144. Legújabban Y. Bugeaud, M. Mignotte és S. Siksek bebizonyította, hogy csak 8 és 144 teljes hatványok.

$F_{10^{n}}$ számjegyeinek száma éppen ${\frac {1}{{\rm {arcsh}}\,2\log 10}}$ tizedestört alakjának első n számjegye.

Azonosságok

• $\sum _{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1$
• $\sum _{i=0}^{n}iF_{i}=nF_{n+2}-F_{n+3}+2$
• $\sum _{i=0}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}$
• $F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}$

• $F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$ (Cassini-azonosság, a korábbi mátrixazonosságból a két oldal determinánsát véve nyerhető.) Általánosabb formája: $F_{n}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}$ (Catalan-azonosság).

• $F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{n-m}\,$ (d'Ocagne-azonosság)
• $F_{m}F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}=F_{n+m}\,$, amiből adódik, hogy $F_{k}|F_{nk}\,$. Ennél több is igaz: egy tetszőleges k-ra $k|(F-m)\wedge k|F_{n}\Leftrightarrow k|F_{(m,n)}\,$, továbbá $(F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}\,$.

• Annak az n×n-es mátrixnak, aminek a főátlójába 1-et, a főátló fölötti és alatti mezőkbe, azaz a mellékátlókba pedig i-t írtunk, a determinánsa éppen $F_{n+1}$.

• Összefüggés a Csebisev-polinomokkal: $F_{n}=i^{n-1}U_{n-1}(-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}-i)$

Hatványsor

A $s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }F_{n}x^{n}$ hatványsor $x<1/\phi \,$ esetén az alábbi zárt alakba írható:

$s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}$.

Ebből $x={\frac {1}{10}}$ mellett adódik, hogy $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{n}}{10^{n+1}}}={\frac {1}{89}}$.

Reciprokok összege

A Fibonacci-számok reciprokainak összege konvergens:

$C=\sum _{n=1}^{\infty }F_{n}^{-1}=3,359885\dots$

(OEIS: A079586)

Erdős Pál vetette fel a kérdést, hogy irracionális-e ez a szám, és R. André-Jeannin bebizonyította be 1989-ben, hogy az. Zárt képletet nem ismerünk rá.

Repfigitek

A repfigitek (repetitive Fibonacci-like digit, ismétlődő Fibonacci-szerű számjegy) vagy Keith-számok olyan számok, amiknek a számjegyeiből egy lineáris rekurzív sorozatot alkotva a sorozat tartalmazza magát a számot. A kétjegyű repfigitek (ezeknél a lin. rek. sorozat Fibonacci-sorozat): 14, 19, 28, 47, 61, 75.

(OEIS: A007629)

Fibonacci-számok kiszámítása

A rekurzív képlet közvetlenül nem alkalmas nagy Fibonacci-számok kiszámítására, mert a korábbi Fibonacci-számokat sokszor ki kell számítani hozzá, amitől a futásidő exponenciálissá válik. (Kivétel ez alól, ha a használt programnyelv "megjegyzi" az egyszer már kiszámított értékeket - ez a helyzet pl. bizonyos funkcionális nyelveknél.) A Binet-formula használata sem célszerű, mert a lebegőpontos számábrázolás általában nem elég pontos hozzá, és a felgyülemlő kerekítési hibák miatt téves eredmény adódhat.

A legegyszerűbb módszer két változó használata, amelyek kezdetben 0 és 1 értékeket kapnak, majd az elsőt minden lépésben felülírjuk a másodikkal, a másodikat pedig a kettő összegével. Nagy n-re O(log n) szorzással megkaphatjuk, ha az alábbi képletből számoljuk gyors hatványozással:

${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{bmatrix}}$

Alkalmazások

A Fibonacci-számoknak nagy jelentősége van az euklidészi algoritmus futásidejének elemzésében: az algoritmus akkor a leglassabb, ha két szomszédos Fibonacci-szám legnagyobb közös osztóját kell kiszámolni.

Matyijaszevics kimutatta, hogy a Fibonacci-számok diofantoszi halmazt alkotnak, és ebből kiindulva válaszolta meg Hilbert tizedik problémáját.

A Pascal-háromszögben bizonyos átlók mentén összegezve a számokat Fibonacci-számokat kapunk.

Egy n hosszú szakaszt $F_{n+1}$-féleképpen lehet kirakni 1 és 2 hosszú szakaszokból.

Egy 2*n-es sakktáblát 2*1-es dominókkal $F_{n+1}$-féleképpen lehet lefedni (Dickau).

Az 1, 2, ... n számokból $F_{n+2}$-féleképp lehet kiválasztani egy részhalmazt úgy, hogy ne kerüljenek bele szomszédos számok (1-et és n-t is szomszédosnak tekintve).

Azoknak a bitsorozatoknak a száma, amikben nincs két egymást követő 0, $F_{n+2}$; annak az esélye, hogy n egymást követő pénzfeldobás során nem kapunk kétszer egymás után fejet, $F_{n+2}/2^{n}$.

A zenében néha hangolásra használják, máskor időtartamok arányainak meghatározására. Egy példa erre Bartók Béla Zene húros-, ütőhangszerekre és cselesztára című műve.

Minden pozitív egész szám felírható különböző Fibonacci-számok összegeként; ha a Fibonacci-számok között nem lehet két egymást követő, akkor a felírás egyértelmű. Ez a Zeckendorf-tétel, maga a felírás pedig Zeckendorf-reprezentáció vagy Fibonacci-számrendszer néven ismeretes.

A mérföld és a kilométer közötti váltószám (1.609) közel van az aranymetszéshez, ezért a kettő közötti átváltás közelíthető egy bitenkénti eltolás művelettel a Fibonacci-számrendszerben.

Fibonacci-spirálok

A Fibonacci-spirál egy olyan logaritmikus spirál, ami egy negyedfordulat alatt nő a $\phi \,$-szeresére (azaz egy $c\,\phi ^{2/\pi }\,$ egyenletű spirál). Jól közelíthető az arany téglalap segítségével .

A Fibonacci-spirálon egyenlő távolságra pontokat elhelyezve azok „spirálkarokká” állnak össze, és ezen karok száma Fibonacci-szám lesz.

A Fibonacci-spirál mentén elhelyezett gömbök optimális elrendezést adnak abban az értelemben, hogy nagyon sok gömböt elhelyezve is azok egyenletesen oszlanak el.

Fibonacci-számok a természetben

Fibonacci-spirálok a brokkoli rózsáiban

A virágszirmok száma gyakran Fibonacci-szám: például a liliomnak, a nősziromnak és a hármassziromnak három; a haranglábnak, a boglárkának, a larkspurnak és a vadrózsának öt; a szarkalábnak, a vérpipacsnak és a pillangóvirágnak nyolc; a jakabnapi aggófűnek, a hamvaskának és a körömvirágnak 13; az őszirózsának, a borzas kúpvirágnak és a cikóriának 21; a fodroslevelű margitvirágnak, az útilapunak és egyes százszorszépeknek 34; más százszorszép-fajoknak pedig 55 vagy 89 szirma van.

Fibonacci-spirálba rendeződnek például a fenyőtoboz és az ananász pikkelyei, a napraforgó magjai, a málna szemei, a karfiol rózsái és egyes kaktuszok tüskéi. A nautiluszok háza is hasonlít a Fibonacci-spirálhoz, de nem egy negyed, hanem egy teljes kör alatt nő meg a sugár $\phi \,$-szeresére.

A növények szárán az egymást követő levelek elfordulása (a phyllotaxis) többnyire (egyes becslések szerint 90%-ban) $F_{n}/F_{n+2}$ teljeskör (pl. szilfa és hárs esetén 1/2, bükknél, mogyorónál és szedernél 1/3, tölgynél, almánál, cseresznyénél és meggynél 2/5, nyárnál, rózsánál és baracknál 3/8, fűznél és mandulánál 5/13). Ezek az arányok éppen a $\phi ^{-2}\,$ lánctörtbe fejtésekor kapott közelítő törtek ($\phi \,$ az aranymetszés).

Przemyslaw Prusinkiewicz szerint ezen jelenségek egy része megmagyarázható szabad csoportok bizonyos algebrai megkötéseinek kifejeződéseként, konkrétabban bizonyos Lindenmeyer nyelvtanokként. A fraktálgeometriában a Fuchs-csoportok és a Klein-csoportok tanulmányozása közben találkozhatunk Fibonacci-számokkal.

Egy méh n-generációs őseinek a száma az n-ik Fibonacci-szám.

Fibonacci-számok az irodalomban

A Fibonacci-sorozatnak fontos szerepe van Dan Brown bestsellerében, A da Vinci-kódban, és Darren Aronofsky filmjében, a π-ben.

Lásd még

• aranymetszés
• Fibonacci-kupac
• Fibonacci-számtáblázat (500-ig)

Irodalom

• D. E. Knuth: A számítógép-programozás művészete I.
• Gerőcs László: A Fibonacci-sorozat és általánosításai, Tankönyvkiadó, Bp, 1988
• Török Judit: A Fibonacci-sorozat, Tankönyvkiadó, Bp, 1984.

Külső hivatkozások

• MathWorld cikk
• Fibonacci Numbers and the Golden Section
• The Fibonacci Quarterly – egy tudományos folyóirat, ami a Fibonacci-számokkal foglalkozik
• GoldenNumber.net
• Museum of Harmony and Golden Section
• Fibonacci Flim-Flam – Fibonacci-számok és áltudomány
• Fibonacci Spirals – Fibonacci-spirálokon alapuló képek
• The Golden Mean and the Physics of Aesthetics
• Hemachandra's application to Sanskrit poetry (pdf)
• La Espiral de Durero y Las Meninas de Velázquez