Párhuzamosság

Az euklideszi geometriában két egyenes párhuzamos, ha egysíkúak, és nem metszik egymást. Emellett az egyeneseket párhuzamosnak tekintik önmagukkal, hogy a párhuzamosság ekvivalenciareláció legyen. A hiperbolikus geometriában irányított egyenesek párhuzamosságáról beszélnek. Azok az irányított egyenesek párhuzamosak, amelyek elválasztják a metsző és a nem metsző irányított egyeneseket. A szóhasználat nem egységes. Ezeket az egyeneseket hívják elpattanónak, vagy az összes nem metszőt párhuzamosnak.

Gyakran mondják, hogy „a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást”. Ez affin szemléletre utal, azaz arra, hogy minden egyenest egy-egy végtelen távoli ponttal bővítettük, és hogy az egy párhuzamos nyalábba tartozó egyenesek végtelen távoli pontja közös. Ha nem teszünk különbséget végtelen távoli és közönséges pontok között, akkor a projektív geometriához jutunk, ahol már nincsenek párhuzamosok.

A három dimenziós euklideszi térben teljesülnek a következők:

• Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban.
• Egyenes és sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy a sík tartalmazza az egyenest.
• Két sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy egybeesnek.

Magasabb dimenziós terekben más alterek párhuzamossága is értelmezve van. A hiperbolikus, az affin és a projektív geometriában is hasonlók teljesülnek.

Vektorterekben két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik lineárisan összefüggnek.

Tulajdonságai

Az euklideszi és az affin síkgeometriában teljesül:

Adott egyeneshez adott ponton át egy, az adott egyenest (közönséges pontban) nem metsző egyenes húzható.

Ez a kijelentés az euklideszi geometria párhuzamossági axiómája, ami szükséges az euklideszi geometria felépítéséhez. Elhagyásával az abszolút geometriát kapjuk, ami az euklideszi és a hiperbolikus geometria közös általánosítása. A hiperbolikus geometriában a hiperbolikus axióma helyettesíti:

Adott egyeneshez adott ponton át több, az adott egyenest nem metsző egyenes húzható.

Az analitikus geometriában az euklideszi párhuzamossági axióma bizonyítható. Tehát ez a geometria az euklideszi geometriát modellezi.

Tetszőleges dimenziós euklideszi, affin és hiperbolikus terekben az egyenesek párhuzamossága ekvivalenciareláció. Ennek osztályai a párhuzamos nyalábok, amelyek speciális sugársorok.

Tetszőleges dimenziójú euklideszi geometriában bármely párhuzamos egyenespár távolsága állandó, azaz akárhol metsszük el őket egy rájuk merőleges egyenessel, a párhuzamos egyenespár mindig ugyanolyan hosszú szakaszt metsz ki belőle. A hiperbolikus geometriákban ez csak akkor igaz, ha a két egyenes egybeesik.

Általánosítása vektorterekben

Az $n$-dimenziós $K$ test fölötti $A$ vektortér alterei, $A_{1},A_{2}$ az $U_{1},U_{2}<K^{n}$ lineáris alterek mellékosztályaiként írhatók le az $A$-hoz tartozó koordináta-vektortérben. Ekkor $A_{1}=P_{1}+U_{1}$ és $A_{2}=P_{2}+U_{2}$ valami $P_{1},P_{2}$-re.

• Az $A_{1}$ és $A_{2}$ terek párhuzamosak, ha $U_{1}\subseteq U_{2}$ vagy $U_{2}\subseteq U_{1}$.

Ugyanez átfogalmazható csak geometriai fogalmakkal:

• Az $A_{1}$ és a $A_{2}$ terek párhuzamosak, ha az $A$ affin térben van egy $\tau$ párhuzamos eltolás, hogy $\tau (A_{1})\subseteq A_{2}$ vagy $A_{2}\subseteq \tau (A_{1})$.

Vektoriálisan, $\tau$ eltolásvektora ${\vec {v}}\in K^{n}$ (lehet például ${\vec {v}}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$ az előző megfogalmazás szerint) és akkor az állítás:

• Az $A_{1}$ és az $A_{2}$ terek párhuzamosak, ha van egy ${\vec {v}}\in K^{n}$ eltolás, hogy $A_{1}+{\vec {v}}\subseteq A_{2}$ vagy $A_{2}\subseteq A_{1}+{\vec {v}}$.

Ezeket a definíciókat rendszerint legalább egy dimenziós alterekre alkalmazzák, hiszen eszerint a pontok és az üres halmaz mindennel párhuzamos lenne.

Tulajdonságai

Az így általánosított párhuzamosság a vektortér rögzített dimenziójú alterein ekvivalenciareláció. Ezek az osztályok a párhuzamos nyalábok, vagy párhuzamos altérsorok. Ha a rögzített dimenzió 1, akkor párhuzamos egyenesnyalábról, ha 2, akkor párhuzamos síksorról, ha n-1, akkor párhuzamos hipersíksorról van szó. Az affin geometria nyelvén azok a k dimenziós affin alterek párhuzamosak, amelyek a végtelen távoli hipersíkon k-1 dimenziós altérben metszik egymást. Az összes affin altér halmazán a párhuzamosság szimmetrikus és reflexív, de nem tranzitív reláció.

Rokon fogalmak

A párhuzamos eltolás minden pontot egy adott távolsággal tol el egy adott irányban. Vektoriálisan, $x\mapsto x+a$. Így futhatnak párhuzamosan félegyenesek és szakaszok is. Hasonlóan eltolhatók görbék is a normálisuk irányában. A $\gamma (s)\in \mathbb {R} ^{2}$ görbének párhuzamos görbéi a $\gamma (s)\pm an(s)$ görbék, ahol $n(s)$ normálvektora $\gamma (s)$-nek. Erre példák a párhuzamos körök.

Kapcsolódó szócikkek

• Párhuzamossági axióma
• Homotécia