„Párhuzamosság” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
→Általánosítása affin terekben: bővebb leírás |
→Általánosítása affin terekben: befejezés |
||
33. sor: | 33. sor: | ||
Ugyanez átfogalmazható csak geometriai fogalmakkal: |
Ugyanez átfogalmazható csak geometriai fogalmakkal: |
||
* Az <math>A_1</math> és a <math>A_2</math> terek párhuzamosak, ha az <math>A</math> affin térben van egy <math>\tau</math> párhuzamos eltolás, hogy <math>\tau(A_1)\subseteq A_2</math> vagy <math>A_2\subseteq \tau( A_1)</math>. |
* Az <math>A_1</math> és a <math>A_2</math> terek párhuzamosak, ha az <math>A</math> affin térben van egy <math>\tau</math> párhuzamos eltolás, hogy <math>\tau(A_1)\subseteq A_2</math> vagy <math>A_2\subseteq \tau( A_1)</math>. |
||
Vektoriálisan, <math>\tau</math> eltolásvektora <math>\vec{v}\in K^n</math> |
:Vektoriálisan, <math>\tau</math> eltolásvektora <math>\vec{v}\in K^n</math> (lehet például <math>\vec{v}=\overrightarrow{P_1P_2}</math> az előző megfogalmazás szerint) és akkor az állítás: |
||
* Az <math>A_1</math> és az <math>A_2</math> terek párhuzamosak, ha van egy <math>\vec{v}\in K^n</math> eltolás, hogy <math>A_1+\vec{v}\subseteq A_2</math> vagy <math>A_2\subseteq A_1+\vec{v}</math>. |
|||
Ezeket a definíciókat rendszerint legalább egy dimenziós alterekre alkalmazzák, hiszen eszerint a pontok és az üres halmaz mindennel párhuzamos lenne. |
|||
==Kapcsolódó szócikkek== |
==Kapcsolódó szócikkek== |
A lap 2012. június 28., 19:53-kori változata
Az euklideszi geometriában két egyenes párhuzamos, ha egysíkúak, és nem metszik egymást. Emellett az egyeneseket párhuzamosnak tekintik önmagukkal, hogy a párhuzamosság ekvivalenciareláció legyen. A hiperbolikus geometriában irányított egyenesek párhuzamosságáról beszélnek. Azok az irányított egyenesek párhuzamosak, amelyek elválasztják a metsző és a nem metsző irányított egyeneseket. A szóhasználat nem egységes. Ezeket az egyeneseket hívják elpattanónak, vagy az összes nem metszőt párhuzamosnak.
Gyakran mondják, hogy „a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást”. Ez affin szemléletre utal, azaz arra, hogy minden egyenest egy-egy végtelen távoli ponttal bővítettük, és hogy az egy párhuzamos nyalábba tartozó egyenesek végtelen távoli pontja közös. Ha nem teszünk különbséget végtelen távoli és közönséges pontok között, akkor a projektív geometriához jutunk, ahol már nincsenek párhuzamosok.
A három dimenziós euklideszi térben teljesülnek a következők:
- Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban.
- Egyenes és sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy a sík tartalmazza az egyenest.
- Két sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy egybeesnek.
Magasabb dimenziós terekben más alterek párhuzamossága is értelmezve van. A hiperbolikus, az affin és a projektív geometriában is hasonlók teljesülnek.
Vektorterekben két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik lineárisan összefüggnek.
Tulajdonságai
Az euklideszi és az affin síkgeometriában teljesül:
Adott egyeneshez adott ponton át egy, az adott egyenest (közönséges pontban) nem metsző egyenes húzható.
Ez a kijelentés az euklideszi geometria párhuzamossági axiómája, ami szükséges az euklideszi geometria felépítéséhez. Elhagyásával az abszolút geometriát kapjuk, ami az euklideszi és a hiperbolikus geometria közös általánosítása. A hiperbolikus geometriában a hiperbolikus axióma helyettesíti:
Adott egyeneshez adott ponton át több, az adott egyenest nem metsző egyenes húzható.
Az analitikus geometriában az euklideszi párhuzamossági axióma bizonyítható. Tehát ez a geometria az euklideszi geometriát modellezi.
Tetszőleges dimenziós euklideszi, affin és hiperbolikus terekben az egyenesek párhuzamossága ekvivalenciareláció. Ennek osztályai a párhuzamos nyalábok, amelyek speciális sugársorok.
Tetszőleges dimenziójú euklideszi geometriában bármely párhuzamos egyenespár távolsága állandó, azaz akárhol metsszük el őket egy rájuk merőleges egyenessel, a párhuzamos egyenespár mindig ugyanolyan hosszú szakaszt metsz ki belőle. A hiperbolikus geometriákban ez csak akkor igaz, ha a két egyenes egybeesik.
Általánosítása affin terekben
Az -dimenziós test fölötti affin tér alterei, az lineáris alterek mellékosztályaiként írhatók le az -hoz tartozó koordináta-vektortérben. Ekkor és valami -re.
- Az és terek párhuzamosak, ha vagy .
Ugyanez átfogalmazható csak geometriai fogalmakkal:
- Az és a terek párhuzamosak, ha az affin térben van egy párhuzamos eltolás, hogy vagy .
- Vektoriálisan, eltolásvektora (lehet például az előző megfogalmazás szerint) és akkor az állítás:
- Az és az terek párhuzamosak, ha van egy eltolás, hogy vagy .
Ezeket a definíciókat rendszerint legalább egy dimenziós alterekre alkalmazzák, hiszen eszerint a pontok és az üres halmaz mindennel párhuzamos lenne.