„Párhuzamosság” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2012. június 28., 19:42-kori változata

Az euklideszi geometriában két egyenes párhuzamos, ha egysíkúak, és nem metszik egymást. Emellett az egyeneseket párhuzamosnak tekintik önmagukkal, hogy a párhuzamosság ekvivalenciareláció legyen. A hiperbolikus geometriában irányított egyenesek párhuzamosságáról beszélnek. Azok az irányított egyenesek párhuzamosak, amelyek elválasztják a metsző és a nem metsző irányított egyeneseket. A szóhasználat nem egységes. Ezeket az egyeneseket hívják elpattanónak, vagy az összes nem metszőt párhuzamosnak.

Gyakran mondják, hogy „a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást”. Ez affin szemléletre utal, azaz arra, hogy minden egyenest egy-egy végtelen távoli ponttal bővítettük, és hogy az egy párhuzamos nyalábba tartozó egyenesek végtelen távoli pontja közös. Ha nem teszünk különbséget végtelen távoli és közönséges pontok között, akkor a projektív geometriához jutunk, ahol már nincsenek párhuzamosok.

A három dimenziós euklideszi térben teljesülnek a következők:

Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban.
Egyenes és sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy a sík tartalmazza az egyenest.
Két sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy egybeesnek.

Magasabb dimenziós terekben más alterek párhuzamossága is értelmezve van. A hiperbolikus, az affin és a projektív geometriában is hasonlók teljesülnek.

Vektorterekben két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik lineárisan összefüggnek.

Tulajdonságai

Az euklideszi és az affin síkgeometriában teljesül:

Adott egyeneshez adott ponton át egy, az adott egyenest (közönséges pontban) nem metsző egyenes húzható.

Ez a kijelentés az euklideszi geometria párhuzamossági axiómája, ami szükséges az euklideszi geometria felépítéséhez. Elhagyásával az abszolút geometriát kapjuk, ami az euklideszi és a hiperbolikus geometria közös általánosítása. A hiperbolikus geometriában a hiperbolikus axióma helyettesíti:

Adott egyeneshez adott ponton át több, az adott egyenest nem metsző egyenes húzható.

Az analitikus geometriában az euklideszi párhuzamossági axióma bizonyítható. Tehát ez a geometria az euklideszi geometriát modellezi.

Tetszőleges dimenziós euklideszi, affin és hiperbolikus terekben az egyenesek párhuzamossága ekvivalenciareláció. Ennek osztályai a párhuzamos nyalábok, amelyek speciális sugársorok.

Tetszőleges dimenziójú euklideszi geometriában bármely párhuzamos egyenespár távolsága állandó, azaz akárhol metsszük el őket egy rájuk merőleges egyenessel, a párhuzamos egyenespár mindig ugyanolyan hosszú szakaszt metsz ki belőle. A hiperbolikus geometriákban ez csak akkor igaz, ha a két egyenes egybeesik.

Általánosítása affin terekben

Az $n$ -dimenziós $K$ test fölötti $A$ affin tér alterei, $A_{1},A_{2}$ az $U_{1},U_{2}<K^{n}$ lineáris alterek mellékosztályaiként írhatók le az $A$ -hoz tartozó koordináta-vektortérben. Ekkor $A_{1}=P_{1}+U_{1}$ és $A_{2}=P_{2}+U_{2}$ valami $P_{1},P_{2}$ -re.

Kapcsolódó szócikkek

@@ 26. sor: / 26. sor: @@
 Tetszőleges dimenziós euklideszi, affin és hiperbolikus terekben az egyenesek párhuzamossága ekvivalenciareláció. Ennek osztályai a párhuzamos nyalábok, amelyek speciális sugársorok.
 Tetszőleges dimenziójú euklideszi geometriában bármely párhuzamos egyenespár távolsága állandó, azaz akárhol metsszük el őket egy rájuk merőleges egyenessel, a párhuzamos egyenespár mindig ugyanolyan hosszú szakaszt metsz ki belőle. A hiperbolikus geometriákban ez csak akkor igaz, ha a két egyenes egybeesik.
+==Általánosítása affin terekben==
+Az <math>n</math>-dimenziós <math>K</math> test fölötti <math>A</math> affin tér alterei, <math>A_1,A_2</math> az <math>U_1,U_2 < K^n</math> lineáris  alterek mellékosztályaiként írhatók le az <math>A</math>-hoz  tartozó koordináta-vektortérben. Ekkor <math>A_1=P_1+U_1</math> és <math>A_2=P_2+U_2</math> valami <math>P_1, P_2</math>-re.
 ==Kapcsolódó szócikkek==