„Párhuzamosság” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
párhuzamos nyaláb, távolságvonal |
a r2.7.2) (Bot: következő hozzáadása: de:Parallelität (Geometrie) |
||
29. sor: | 29. sor: | ||
[[Kategória:Geometria]] |
[[Kategória:Geometria]] |
||
[[en:Parallel (geometry)]] |
|||
[[ar:تواز (هندسة)]] |
[[ar:تواز (هندسة)]] |
||
[[ast:Paralelismu]] |
[[ast:Paralelismu]] |
||
38. sor: | 38. sor: | ||
[[cs:Rovnoběžnost]] |
[[cs:Rovnoběžnost]] |
||
[[da:Parallel]] |
[[da:Parallel]] |
||
[[ |
[[de:Parallelität (Geometrie)]] |
||
[[eo:Paralelo]] |
[[eo:Paralelo]] |
||
[[es:Paralelismo (matemática)]] |
[[es:Paralelismo (matemática)]] |
A lap 2012. június 27., 19:41-kori változata
Az euklideszi geometriában két egyenes párhuzamos, ha egysíkúak, és nem metszik egymást. Emellett az egyeneseket párhuzamosnak tekintik önmagukkal, hogy a párhuzamosság ekvivalenciareláció legyen. A hiperbolikus geometriában irányított egyenesek párhuzamosságáról beszélnek. Azok az irányított egyenesek párhuzamosak, amelyek elválasztják a metsző és a nem metsző irányított egyeneseket. A szóhasználat nem egységes. Ezeket az egyeneseket hívják elpattanónak, vagy az összes nem metszőt párhuzamosnak.
Gyakran mondják, hogy „a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást”. Ez affin szemléletre utal, azaz arra, hogy minden egyenest egy-egy végtelen távoli ponttal bővítettük, és hogy az egy párhuzamos nyalábba tartozó egyenesek végtelen távoli pontja közös. Ha nem teszünk különbséget végtelen távoli és közönséges pontok között, akkor a projektív geometriához jutunk, ahol már nincsenek párhuzamosok.
A három dimenziós euklideszi térben teljesülnek a következők:
- Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban.
- Egyenes és sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy a sík tartalmazza az egyenest.
- Két sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy egybeesnek.
Magasabb dimenziós terekben más alterek párhuzamossága is értelmezve van. A hiperbolikus, az affin és a projektív geometriában is hasonlók teljesülnek.
Vektorterekben két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik lineárisan összefüggnek.
Tulajdonságai
Az euklideszi és az affin síkgeometriában teljesül:
Adott egyeneshez adott ponton át egy, az adott egyenest (közönséges pontban) nem metsző egyenes húzható.
Ez a kijelentés az euklideszi geometria párhuzamossági axiómája, ami szükséges az euklideszi geometria felépítéséhez. Elhagyásával az abszolút geometriát kapjuk, ami az euklideszi és a hiperbolikus geometria közös általánosítása. A hiperbolikus geometriában a hiperbolikus axióma helyettesíti:
Adott egyeneshez adott ponton át több, az adott egyenest nem metsző egyenes húzható.
Az analitikus geometriában az euklideszi párhuzamossági axióma bizonyítható. Tehát ez a geometria az euklideszi geometriát modellezi.
Tetszőleges dimenziós euklideszi, affin és hiperbolikus terekben az egyenesek párhuzamossága ekvivalenciareláció. Ennek osztályai a párhuzamos nyalábok, amelyek speciális sugársorok.
Tetszőleges dimenziójú euklideszi geometriában bármely párhuzamos egyenespár távolsága állandó, azaz akárhol metsszük el őket egy rájuk merőleges egyenessel, a párhuzamos egyenespár mindig ugyanolyan hosszú szakaszt metsz ki belőle. A hiperbolikus geometriákban ez csak akkor igaz, ha a két egyenes egybeesik.