„Kihajlás” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a r2.7.1) (Bot: következő hozzáadása: el:Λυγισμός |
a Bot: következő hozzáadása: ca:Vinclament, fi:Nurjahdus, sv:Knäckning |
||
147. sor: | 147. sor: | ||
[[en:Buckling]] |
[[en:Buckling]] |
||
[[bg:Загуба на устойчивост]] |
[[bg:Загуба на устойчивост]] |
||
[[ca:Vinclament]] |
|||
[[de:Knicken]] |
[[de:Knicken]] |
||
[[el:Λυγισμός]] |
[[el:Λυγισμός]] |
||
[[es:Pandeo]] |
[[es:Pandeo]] |
||
[[fa:کمانش]] |
[[fa:کمانش]] |
||
[[fi:Nurjahdus]] |
|||
[[fr:Flambage]] |
[[fr:Flambage]] |
||
[[he:קריסה]] |
[[he:קריסה]] |
||
159. sor: | 161. sor: | ||
[[pt:Flambagem]] |
[[pt:Flambagem]] |
||
[[ru:Гибкость стержня]] |
[[ru:Гибкость стержня]] |
||
[[sv:Knäckning]] |
|||
[[uk:Стійкість (опір матеріалів)]] |
[[uk:Стійкість (опір матеріалів)]] |
A lap 2012. május 8., 11:56-kori változata
A kihajlás az a mechanikai jelenség, amely keresztmetszetéhez képest hosszú egyenes rúd tengelyébe eső, megfelelően nagy nyomóerő hatására bekövetkezik.
Ha a nyomóerő kicsi, a rúd kissé összenyomódik, de egyenes marad. Ha a nyomóerőt növeljük, akkor egy bizonyos kritikus értéknél a rúd elgörbül, kihajlik és eltörik. Azt az erőt, amelynél a rúd eltörik, kritikus törőerőnek nevezik. Kis nyomóerő esetén a nyomott rúd stabil egyensúlyi helyzetben van, mivel ha a rúdra merőleges kis erővel terheljük, a rúd meggörbül, de a merőleges erő megszüntetésével visszatér eredeti helyzetébe. A törőerő elérésekor a kis oldalirányú erő okozta alakváltozás az erő megszüntetése után is megmarad. Ekkor a rúd közömbös (indifferens) egyensúlyi helyzetben van. Ha a rúd terhelése a kritikus törőerőnél nagyobb, a kitérés addig fokozódik, amíg a rúd eltörik, vagyis a rúd állapota instabil.
Euler képlete
Leonhard Euler 1757-ben a meghatározta a kritikus törőerő nagyságát arra az esetre, ha a törőerő által okozott nyomófeszültség kisebb, mint a rúd anyagának folyáshatára, más szóval, ha rugalmas kihajlás esete forog fenn. Ebben az esetben felírható a rugalmas szál differenciálegyenlete:
- ,
ahol az x tengelyt a rúd tengelyében vesszük fel, origójával a rúd egyik csuklós végpontjában (ahol a csukló miatt nyomaték nem ébredhet), az y tengely erre merőleges, M a rúd egy tetszőleges pontját terhelő hajlító nyomaték, I a rúd keresztmetszetének legkisebb másodrendű nyomatéka, E pedig a rúd anyagának rugalmassági modulusa. Az M hajlítónyomaték az Ft törőerő és az y kitérés szorzata:
- .
Végül, ha bevezetjük az
jelölést, a differenciálegyenlet ilyen alakú lesz:
- .
Ennek az egyenletnek az általános megoldása:
- ,
ahol A és B a peremfeltételektől függ. Mivel az l hosszúságú rúd mindkét végén csuklós megfogású,
- és , így
- és
- .
Ez utóbbi nem triviális megoldásaiból gyakorlatilag az az érdekes eset, ha . Visszahelyettesítve az értékeket a kritikus törőerő értékét kapjuk:
- .
Ha a nyomott rúd nem csuklóval rendelkezik a végén, a differenciálegyenlet azonos lesz, csak a peremfeltételek lesznek eltérőek és ezek befolyásolják a törőerő nagyságát. Az alábbi ábra szerinti esetekre összefoglalóan a következő összefüggés írható:
- ,
ahol μ a befogás fajtájától függő tényező, értéke az ábrán látható.
A gyakorlatban a törést okozó σt nyomófeszültséget szokás számolni:
- ,
ahol T a keresztmetszet területe. A másodrendű nyomaték az i inerciasugárral is felírható:
- ,
és bevezetve a
- ,
karcsúságot, az Euler-képlet a törőfeszültségre így írható:
- ,
Tetmajer képlete
A törőfeszültség csak akkor számítható a fenti összefüggés segítségével, ha az az arányossági határnál kisebb. Ebben a tartományban rugalmas kihajlásról beszélünk. Ha a törőfeszültséget a karcsúság függvényében ábrázoljuk, eredményül egy másodfokú hiperbolát, az úgynevezett Euler-hiperbolát kapjuk, amely azonban csak az arányossági határig érvényes. A σF folyáshatár a törőfeszültség felső határát jelenti. A folyáshatár és az arányossági határ között plasztikus kihajlásról beszélünk. Ebben a tartományban a magyar származású Tetmajer Lajos kísérletei szerint a λ - σt diagramban egy egyenessel ábrázolhatók. Ezek szerint:
- ,
Anyag | Szakítószilárdság MPa |
III. szakasz λ<λF | II. szakasz λF <λ< λe | I. szakasz λ>λe σt MPa | ||
---|---|---|---|---|---|---|
σt = σF MPa |
λf | σt = a - bλ MPa |
λe | |||
Szénacél | 370 | 240 | 60 | 308-1,14λ | 105 | |
480 | 310 | 60 | 467-1,62λ | 100 | ||
520 | 360 | 60 | 589-3,82λ | 100 | ||
Ötvözött acél | 650 | 420 | 22 | 470-2,30λ | 86 | |
Dúralumínium | 420 | - | 0 | 380-2,20λ | 50 | |
Öntöttvas | - | - | 5 | 776-12λ+0,053λ² | 80 | |
Fenyőfa | - | - | 0 | 30-0,2λ | 100 | |
Tölgyfa | - | - | 0 | 37,5-0,25λ | 100 |
Forrás
- Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963 10 359 13
- Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.